共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問35 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問9)

まず、Eの配置から「図2」の配置にいたるための過程を考えます。
5つめの「タイル」を置く位置は3箇所ありますが、
4つ直線状に並んではいけないので、
3つのうち2つが「図2」の配置になり得ます。
6つめの「タイル」を置く位置も3箇所あり、
5つめで正しい「タイル」を置いたあとは1箇所だけが「図2」の配置に至る置き方となります。
設問（コ）（サシ）から、最初の配置 → Eの配置に至る確率は7/24なので、
「図2」の配置に至る確率は、(7/24)・(2/3)・(1/3) = 7/108です。

次に、Fの配置から「図2」の配置に至るための過程を考えます。
この場合は、5つめの「タイル」を置く位置が2箇所だけであり、
さらにどちらに新しい「タイル」を置いても「図2」に至る可能性があります。
6つめの「タイル」を置く位置は3箇所あり、そのうち1箇所だけが「図2」の配置に至ります。
設問（セ）（ソ）から最初の配置からFの配置に至る確率は 1/6 なので、
Fの配置から「図2」の配置に至る確率は、(1/6)・(2/2)・(1/3) = 2/36 です。

Eの配置と、Fの1つ下の図の配置は、
全体の枠となっている正方形の対角線に関して対称となっているので、
「図2」への配置となる確率は同じ 7/108 になります。

「図1」の4つ直線状に並んでいる配置からは「図2」の配置に至る事はできません。

以上から求める確率は、
2・(7/108) + 2/36 = (14 + 6)/108
= 20/108
= 5/27

ツ：5　テト：27　の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
 

設問（セ）（ソ）

前問（ス）と設問（キ）（ク）から、
Fの配置に至る事が可能なのはCの配置のみであり、
最初の配置からCの配置に至る確率は 1/2 です。

 

また、

Cの配置からは隙間を作らないように新しい「タイル」を置く 3 通りの場合の数があり得て、
新しい「タイル」を置く1つの場合の確率は 1/3 です。

 

よって、最初の配置からFの配置に至る確率は、
(1/2)・(1/3) = 1/6 です。

設問（ス）

Bの配置は下側に既に3つの「タイル」が置かれており、
Dの配置は左側に既に3つの「タイル」が置かれており、
いずれもFの配置になり得ません。

 

Cの配置だけが、正方形状になるように「タイル」を新しく置いて、
Fと同じ配置にできます。

設問（コ）（サシ）

Eの配置に至る事ができるのは、
BとCの配置のみです。

 

次に、3つめから4つめの「タイル」を新しく置くときの確率は、
Bに関しては隙間を作らないように 2 通りしか場合の数がなく、
新しい「タイル」を置く1つの場合の確率は 1/2 です。

Cに関しては、隙間を作らないように 3 通りの場合の数があり得て、
新しい「タイル」を置く1つの場合の確率は 1/3 です。

 

設問（ウ）～（カ）から、
最初の配置からBの配置に至る確率は 1/4 です。
設問（キ）（ク）から、
最初の配置からCの配置に至る確率は 1/2 です。

 

よって、最初の配置からEの配置に至る確率は、
(1/4)・(1/2) + (1/2)・(1/3) = 1/8 + 1/6 
= (3 + 4)/24 = 7/24 です。

設問（キ）（ク）

前問（ウ）～（カ）の考察より、
AからCの配置になる確率は 1/2 で、
「図1」でAの下側の図の配置からCの配置になる確率も 1/2 です。

最初の配置からAになる確率が 1/2 で
最初の配置からAの下側の図の配置になる確率も 1/2 である事に注意して、
最初の配置からCの配置になる確率は、
(1/2)・(1/2) + (1/2)・(1/2) = 1/4 +1/4 = 1/2 です。

設問（ウ）～（カ）

「図1」にもある通り、Bの配置に至るにはAの配置の右に新しい「タイル」を配置する場合です。

「ただし、新しく貼るタイルは、その左側と下側が壁の縁やすでに貼られているタイルとの間に隙間ができないように、詰めて貼られるものとする」という問題文の条件に注意します。
「壁の縁」との隙間があってはいけないので、
Aの配置からBの配置に新しくタイルを置く場合の数は 2 通りです。
（「ただし、…」の問題文の条件がなければ「3通り」あります。）

よって、Aから新しく「タイル」を配置するそれぞれの確率は問題文から 1/2 です。

 

前問（ア）（イ）からAの配置に至る確率が 1/2 と求まっているので、
本設問は (1/2)・(1/2) = 1/4 の確率を答える事になります。

設問（ア）（イ）

最初の配置から2つめの配置になる場合の数は、
2個めの「タイル」を上に置くか右に置くかの2通りです。
1つの「配置」になる確率はその場合の数の逆数（つまり 1/n）とすると問題文に書かれているので、
Aとなる確率は 1/2 です。

解答　ツ：5　テト：27

解説

以下では、

・○を経由する確率をP(○)

・△を経由したという条件のもとで☆を経由する条件付き確率をP_△(☆)

・▲を経由してかつ★を経由する確率をP(▲∩★)

と書くことにします。また、

・2枚目を貼った時点でのAでない方の配置をA'

・4枚目を貼った時点での図1のFの１つ下の配置をE'

・図2の配置をX

と呼ぶことにします。

この問題で求めたいのはP(X)です。

Xの状態になるにはE、E'、Fのいずれかを経由する必要があります。

3通りに場合分けして考えます。

(i)Eを経由する場合

前問で

P(E)=7／24

と求めました。また、4枚目から6枚目までの流れを考えると、

P_E(X)=(1／3)・(1／3)+(1／3)・(1／3)=2／9

と分かります。よって

P(E∩X)=P(E)P_E(X)=（7／24)・(2／9)=7／108

となります。

(ii)E'を経由する場合

(i)と同様に考えて　P(E'∩X)=7／108　となります。

(iii)Fを経由する場合

前問で

P(F)=1／6

と求めました。また、4枚目から6枚目までの流れを考えると、

P_F(X)=(1／2)・(1／3)+(1／2)・(1／3)=1／3

と分かります。よって

P(F∩X)=P(F)P_F(X)=（1／6)・(1／3)=1／18

となります。

(i)(ii)(iii)より、

P(X)

=P(E∩X)+P(E'∩X)+P(F∩X)

=(7／108)+(7／108)+(1／18)

=(7／54)+(3／54)

=10／54

=5／27

となります。

よって答えは「ツ：5　テト：27」となります。

補足

以下はP(E)とP(F)の解説です(前問より引用)。

P(E)は以下のようにして求めます。

Bを経由するかCを経由するかで場合分けして考えます。

 

P(B)=P(A)P_A(B)=(1／2)✕(1／2)=1／4

P(A∩C)=P(A)P_A(C)=(1／2)✕(1／2)=1／4

P(A'∩C)=P(A')P_A'(C)=(1／2)✕(1／2)=1／4

P(C)=P(A∩C)+P(A'∩C)=(1／4)+(1／4)=1／2

PB(E)=1／2

PC(E)=1／3

P(B∩E)=P(B)P_B(E)=(1／4)・(1／2)=1／8

P(C∩E)=P(C)P_C(E)=(1／2)・(1／3)=1／6

 

P(E)

=P(B∩E)+P(C∩E)

=(1／8)+(1／6)

=(3／24)+(4／24)

=7／24

となります。

P(F)は以下のようにして求めます。

P(A∩C)=P(A)P_A(C)=(1／2)✕(1／2)=1／4

P(A'∩C)=P(A')P_A'(C)=(1／2)✕(1／2)=1／4

P(C)=P(A∩C)+P(A'∩C)=(1／4)+(1／4)=1／2

P_C(F)=1／3

 

ですから、

 

P(F)=P(C)P_C(F)=(1／2)✕(1／3)=(1／6)

となります。