共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問39 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問4)

2xy - 4x - 3y = (2x - 3)(y - 2) - 6 なので、
2xy - 4x - 3y = 3a
⇔ (2x - 3)(y - 2) = 6 +3a = 3(2 +a)
2x - 3 は奇数である事に注意します。

a = 1 のときは試してみると (2x - 3, y - 2) の組は6通りであり、
a = 2 のときは試してみると4通りとなります。

a = 3 のとき、3(2 +3) = 15 であり、
15 =1・15 および 15 = 3・5 であり、
(1, 15), (15, 1), (3, 5), (5, 3) と、
それらを負にしたものを合わせて 8 通りあります。

すなわち具体的には、
(1, 15), (15, 1), (3, 5), (5, 3) および
(-1, -15), (-15, -1), (-3, -5), (-5, -3) です。

a = 3 のときが題意を満たす最小の a の値であり、
「3」の選択肢が設問（キ）の解答となります。
 

解答　キ:3

解説

2xy−4x−3y＝3aを変形して、

(整数)×(整数)＝(整数)の形を作ります。

2xy−4x−3y＝3a

2x(y−2)−3y=3a

2x(y−2)−3(y−2)−6=3a　(y−2を無理やり作る)

(2x−3)(y−2)=3a+6

(2x−3)(y−2)=3(a+2)

2x−3が奇数であることに注意して、

「(奇数)×(整数)=3(a+2)」となるような整数の組を考えます。

選択肢を総当たりします。

a=1のとき　3(a+2)=9　より　2x−3=±1,±3,±9

a=2のとき　3(a+2)=12　より　2x−3=±1,±3

a=3のとき　3(a+2)=15　より　2x−3=±1,±3,±5,±15

a=4のとき　3(a+2)=18　より　2x−3=±1,±3,±9

以上より、2xy−4x−3y＝3aを満たす整数x、yの組が

ちょうど8個になるような最小のaは3とわかります。

よって答えは「キ:3」となります。