共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問40 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問5)
問題文
a、b、cは3≦a≦6、0≦b≦6、1≦c≦4を満たす整数で、さらにc＋1＜aを満たすとする。Mを7進法でabc（7）と表される自然数とし、abc（7）のaとcを入れ替えてcba（7）と表される自然数をNとする。
X＝M−Nとおくと
X＝（［ ク ］）✕72＋（ ケ ）
となる。この式は
X＝（［ ク ］−1）✕72＋（ コ ）✕7＋7＋（ ケ ）
と変形できる。したがって、Xを7進法で
X＝def（7）
と表すと
d＝（ ク ）−1、e＝（ コ ）、f＝7＋（ ケ ）
となる。
次に、def（7）のdとfを入れ替えてfed（7）と表される自然数をYとする。
X＋Yを7進法で
X＋Y＝pqrs（7）
と表すと
p＝（ サ ）、q＝（ シ ）、r＝（ ス ）、s＝（ セ ）
となる。
（ ク ）、（ ケ ）にあてはまるものを1つ選べ。
X＝M−Nとおくと
X＝（［ ク ］）✕72＋（ ケ ）
となる。この式は
X＝（［ ク ］−1）✕72＋（ コ ）✕7＋7＋（ ケ ）
と変形できる。したがって、Xを7進法で
X＝def（7）
と表すと
d＝（ ク ）−1、e＝（ コ ）、f＝7＋（ ケ ）
となる。
次に、def（7）のdとfを入れ替えてfed（7）と表される自然数をYとする。
X＋Yを7進法で
X＋Y＝pqrs（7）
と表すと
p＝（ サ ）、q＝（ シ ）、r＝（ ス ）、s＝（ セ ）
となる。
（ ク ）、（ ケ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和6年度（2024年度）追・試験 問40（数学Ⅰ・数学A（第4問） 問5） （訂正依頼・報告はこちら）
a、b、cは3≦a≦6、0≦b≦6、1≦c≦4を満たす整数で、さらにc＋1＜aを満たすとする。Mを7進法でabc（7）と表される自然数とし、abc（7）のaとcを入れ替えてcba（7）と表される自然数をNとする。
X＝M−Nとおくと
X＝（［ ク ］）✕72＋（ ケ ）
となる。この式は
X＝（［ ク ］−1）✕72＋（ コ ）✕7＋7＋（ ケ ）
と変形できる。したがって、Xを7進法で
X＝def（7）
と表すと
d＝（ ク ）−1、e＝（ コ ）、f＝7＋（ ケ ）
となる。
次に、def（7）のdとfを入れ替えてfed（7）と表される自然数をYとする。
X＋Yを7進法で
X＋Y＝pqrs（7）
と表すと
p＝（ サ ）、q＝（ シ ）、r＝（ ス ）、s＝（ セ ）
となる。
（ ク ）、（ ケ ）にあてはまるものを1つ選べ。
X＝M−Nとおくと
X＝（［ ク ］）✕72＋（ ケ ）
となる。この式は
X＝（［ ク ］−1）✕72＋（ コ ）✕7＋7＋（ ケ ）
と変形できる。したがって、Xを7進法で
X＝def（7）
と表すと
d＝（ ク ）−1、e＝（ コ ）、f＝7＋（ ケ ）
となる。
次に、def（7）のdとfを入れ替えてfed（7）と表される自然数をYとする。
X＋Yを7進法で
X＋Y＝pqrs（7）
と表すと
p＝（ サ ）、q＝（ シ ）、r＝（ ス ）、s＝（ セ ）
となる。
（ ク ）、（ ケ ）にあてはまるものを1つ選べ。
- ク：a−b ケ：7−c
- ク：b−c ケ：b−a
- ク：c−a ケ：7−b
- ク：b−a ケ：a−b
- ク：c−b ケ：7−a
- ク：a−c ケ：c−a
- ク：7−a ケ：a−c
- ク：7−b ケ：b−c
- ク：7−c ケ：c−b
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この過去問の解説 （2件）
01
X = M - N = abc(7) - cba(7) を10進数で表すと、
X =(a・72 - c・72) + (b・7 - b・7) + (c - a)
= (a - c)・72 + (c - a) です。
ク：a - c ケ：c - a の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
abc(7) の3桁めは10進法で a・72 となり、
2桁めの b は 10進法で b・7 となり、
1桁めの c は10進法でも c となります。
cba(7) についても同様で、
10進法で表した時に M-N の b の部分は打ち消して 0 になります。
選択肢が多くありますが、丁寧に考えてこの選択肢を選びましょう。
7進法の abc の1桁め、2桁め、3桁めはそれぞれ、
10進法では c・70, b・71, a・72 となります。
この構造は10進法自体でも同じであり、
例えば123は、
3・100+ 2・102 +1・103 となります。
公式を覚えるというよりは「桁」の構造を理解しておくほうが問題を解きやすくなるかと思われます。
（ただし最終的には自分で理解しやすい方法により理解しましょう。）
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02
解答 ク：a−c ケ：c−a
解説
M=abc（7） つまり M=a・72+b・71+c・70=a・72+b・7+c
N=cba（7） つまり N=c・72+b・71+a・70=c・72+b・7+a
したがって
X＝M−N=(a・72+b・7+c)−(c・72+b・7+a)=(a-c)・72+(c-a)
よって答えは「ク：a−c ケ：c−a」となります。
この選択肢が答えとなります。
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