共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問52 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問7)

（a）について、直線AOと直線AHは直線AIに関して対称かを確認します。

線対称とは、折り目でおったら重なる図形のことです。

つまり、直線AIを折り目としたときに、直線AOと直線AHが重なっていれば線対称であるということができます。

今回は下の図より、∠OAIと∠HAIが等しいことを確認します。

前問より、△ABPと△ADCが相似であることが確認できています。

△ABPと相似である三角形を探します。
問題文の通り、△ABPは∠ABPが直角（半円に対する円周角）である直角三角形です。
選択肢の4個の三角形を確認したときに、直角三角形であるのは△ACP（∠ACPが半円に対する円周角なので直角）と△ADC（∠ADCが垂心の定義より直角）となります。

 

∠APBと等しい角を探します。
円周角の定理より同じ弧に対する円周角は等しいので
∠APB＝∠ACB
点Dは線分BC上の点なので
∠ACB＝∠ACD
よって∠APB＝∠ACD
となります。

 

上記より2組の角がそれぞれ等しいので△ABP∽△ADCとなります。

相似な図形の対応する角は等しいので、∠BAP＝∠DACが成立します。

問題文より点Oは直線AP上の点、点Hは直線AD上の点であることが確認できるので、∠BAP＝∠BAO、∠DAC＝∠HACといえます。

上記より、∠BAO＝∠HACとなります。

三角形の内心は三つの内角の二等分線の交点なので、直線AIは∠BACの二等分線です。

よって、∠BAI＝∠CAIとなります。

∠BAI＝∠CAI、∠BAO＝∠HACとなることが確認できました。

ここで∠OAI＝∠BAI－∠BAO、∠HAI＝∠CAI－∠HACとなるので∠OAI＝∠HAIとなります。

よって、（a）は真となります。

（b）について外心Oと垂心Hは直線AIに関して対称かを確認します。

線対称であれば、対称である点を結んだ線分は、対称の軸（折り目とした直線）と垂直に交わり、交点からそれぞれの点までの距離が等しくなります。

下の図の通り、今回作成した図形では外心Oと垂心Hを結ぶ線分を作成すると、直線AIに対して垂直に交わっていないことが確認できます。

反例が存在するので、（b）は偽となります。

前問で、△ABPと△ACDは相似でした。
その理由は、

∠ABP=90°、∠ADC=90°

∠APB=∠ACD

が成り立つからでした。

この相似から、Aにある角も等しくなります。

つまり、

∠BAP=∠CAD

です。

ここで、

・PはAのOに関する対称な点なので、A・O・Pは一直線上

・DはAHとBCの交点なので、A・H・Dは一直線上

です。

したがって、

∠BAP=∠BAO

∠CAD=∠CAH

となります。
 

よって、

∠BAO=∠CAH

が分かります。