大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問54 (数学Ⅰ・数学A（第5問） 問9)

前問で、（サ）は∠CADでした。
つまり∠BAP＝∠CADです。

ここで、PはAのOに関する対称な点なので、A・O・Pは一直線上です。
したがって、∠BAP＝∠BAOです。
よって、∠BAO＝∠CADが成り立ちます。

今回は ∠BACが鈍角 です。
このとき垂心Hは三角形の外にあり、A・D・Hは一直線上で、AはDとHの間にあります。
つまり、ADとAHは反対向きの半直線です。

そのため、

∠CAH＝180°−∠CAD

です。
さきほどの ∠BAO＝∠CAD を使うと、

∠CAH＝180°−∠BAO

となります。

Iは内心なので、AIは∠BACの二等分線です。
つまり

∠BAI＝∠IAC

です。

前問の鋭角三角形では、AOとAHがAIに関してそのまま対称でした。
しかし今回はAHが反対向きになっているので、AHそのものではなく、AHの反対向きの延長がAOと対称になります。

そのため、普通の角（0°より大きく180°以下）で表すと、

∠OAI＋∠HAI＝180°

になります。