大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問79 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問8)

f(x) = x³ - 3x² + 6 より

f’(x) = 3x² - 6x

f’(x) = 0 とすると

3x² - 6x = 0

3x(x-2) = 0

x = 0 , 2

増減表を書くと，

問題より，

M(t) = f(t) つまり最小値が
定義域の右端かつ

m(t) = f(t+1) つまり最大値が
定義域の左端になるのは

このグラフのようになります。

グラフより

0≦tかつt+1≦0

つまり、0≦t≦1となります。

また

M(t)=f(t)=t³-3t²+6

m(t)=f(t+1)=(t+1)³-3(t+1)²+6
       =t³-3t+4

M(t)-m(t)=(t³-3t²+6)-(t³-3t+4)

　　　　  =-3t²+3t+2

0≦t≦1の範囲で

M(t) - m(t) は2次関数になっているので平方完成すると，

-3t²+3t+2
=-3(t²-t)+2
=-3(t-1/2)²+11/4

上記の範囲と合わせてグラフを書くと，

グラフより，t=1/2で最大値をとります。

右端が最大値、左端が最小値となる場合は下図において一番右と、一番左の場合のみとなります。

極値をまたぐ範囲は、最大値・最小値のどちらかが極値となり不適です。

極値間にある場合は、区間幅が１であるため、右端が最小値、左端が最大値となり不適です。

したがって

t+1≦0　↔　t≦-1

t≧2

のどちらかの場合に題意を満たします。

上図において、題意を満たす場合は極値間にある場合なので

t≧0かつ

t+1≦2　↔　t≦1

↔0≦t≦1

となります。

このとき

M（t）−m（t）

=f（t）-f（t＋1）

=−3t²＋3t+2

=-3(t-1/2)²+11/4

従って、0≦t≦1において、t=1/2で最大値を取ります。