大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問79 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問8)
問題文
f（x）＝x3−3x2＋6とする。
（2）tを実数とし、t≦x≦t＋1の範囲におけるf（x）の最大値をM（t）、最小値をm（t）とおく。
M（t）＝f（t＋1）かつm（t）＝f（t）となるようなtの値の範囲は
t≦（ サシ ），（ ス ）≦t
である。また、M（t）＝f（t）かつm（t）＝f（t＋1）となるようなtの値の範囲は
（ セ ）≦t≦（ ソ ）
であり、このときM（t）−m（t）＝f（t）−f（t＋1）となることに注意すると、
（ セ ）≦t≦（ ソ ）の範囲においてM（t）−m（t）はt＝（ タ ）／（ チ ）で最大値をとることがわかる。
（ タ ）、（ チ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（2）tを実数とし、t≦x≦t＋1の範囲におけるf（x）の最大値をM（t）、最小値をm（t）とおく。
M（t）＝f（t＋1）かつm（t）＝f（t）となるようなtの値の範囲は
t≦（ サシ ），（ ス ）≦t
である。また、M（t）＝f（t）かつm（t）＝f（t＋1）となるようなtの値の範囲は
（ セ ）≦t≦（ ソ ）
であり、このときM（t）−m（t）＝f（t）−f（t＋1）となることに注意すると、
（ セ ）≦t≦（ ソ ）の範囲においてM（t）−m（t）はt＝（ タ ）／（ チ ）で最大値をとることがわかる。
（ タ ）、（ チ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和6年度（2024年度）追・試験 問79（数学Ⅱ・数学B（第2問） 問8） （訂正依頼・報告はこちら）
f（x）＝x3−3x2＋6とする。
（2）tを実数とし、t≦x≦t＋1の範囲におけるf（x）の最大値をM（t）、最小値をm（t）とおく。
M（t）＝f（t＋1）かつm（t）＝f（t）となるようなtの値の範囲は
t≦（ サシ ），（ ス ）≦t
である。また、M（t）＝f（t）かつm（t）＝f（t＋1）となるようなtの値の範囲は
（ セ ）≦t≦（ ソ ）
であり、このときM（t）−m（t）＝f（t）−f（t＋1）となることに注意すると、
（ セ ）≦t≦（ ソ ）の範囲においてM（t）−m（t）はt＝（ タ ）／（ チ ）で最大値をとることがわかる。
（ タ ）、（ チ ）にあてはまるものを1つ選べ。
（2）tを実数とし、t≦x≦t＋1の範囲におけるf（x）の最大値をM（t）、最小値をm（t）とおく。
M（t）＝f（t＋1）かつm（t）＝f（t）となるようなtの値の範囲は
t≦（ サシ ），（ ス ）≦t
である。また、M（t）＝f（t）かつm（t）＝f（t＋1）となるようなtの値の範囲は
（ セ ）≦t≦（ ソ ）
であり、このときM（t）−m（t）＝f（t）−f（t＋1）となることに注意すると、
（ セ ）≦t≦（ ソ ）の範囲においてM（t）−m（t）はt＝（ タ ）／（ チ ）で最大値をとることがわかる。
（ タ ）、（ チ ）にあてはまるものを1つ選べ。
- タ：1 チ：2
- タ：2 チ：3
- タ：3 チ：4
- タ：4 チ：5
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この過去問の解説 （1件）
01
右端が最大値、左端が最小値となる場合は下図において一番右と、一番左の場合のみとなります。
極値をまたぐ範囲は、最大値・最小値のどちらかが極値となり不適です。
極値間にある場合は、区間幅が１であるため、右端が最小値、左端が最大値となり不適です。
したがって
t+1≦0 ↔ t≦-1
t≧2
のどちらかの場合に題意を満たします。
上図において、題意を満たす場合は極値間にある場合なので
t≧0かつ
t+1≦2 ↔ t≦1
↔0≦t≦1
となります。
このとき
M（t）−m（t）
=f（t）-f（t＋1）
=−3t2＋3t+2
=-3(t-1/2)2+11/4
従って、0≦t≦1において、t=1/2で最大値を取ります。
正解です。
題意の誘導に従い、２次関数の最大値を解いていきます。
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