大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問83 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問12)

右端が最大値、左端が最小値となる場合は下図において一番右と、一番左の場合のみとなります。

極値をまたぐ範囲は、最大値・最小値のどちらかが極値となり不適です。

極値間にある場合は、区間幅が１であるため、右端が最小値、左端が最大値となり不適です。

したがって

t+1≦0　↔　t≦-1

t≧2

のどちらかの場合に題意を満たします。

上図において、題意を満たす場合は極値間にある場合なので

t≧0かつ

t+1≦2　↔　t≦1

↔0≦t≦1

となります。

このとき

M（t）−m（t）

=f（t）-f（t＋1）

=−3t²＋3t+2

=-3(t-1/2)²+11/4

従って、0≦t≦1において、t=1/2で最大値を取ります。

f（x）-g（x）=3x²-6x+4

この判別式は、6²-4・3・4＜0

なので常に正であることが分かります。

f（x）-g（x）＞0より、常にf（x）＞g（x）が成り立つことから

が常に成り立ちます。

Sを計算すると
S＝f（r＋1）−f（r）＋4

となることから、この式は

M（t）−m（t）

=f（t）-f（t＋1）

=−3t²＋3t+2

=-3(t-1/2)²+11/4

に-1を掛け、4を足したグラフに相当します。

そのため下に凸で、t=1/2で最小値をとる２次関数になります。

このグラフは0≦r≦1において

減少して増加することがわかります。