共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問104 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問4)

（※ベクトルOPを→OPと記します。）

前問（ウ）（エ）より、
→OR = (1 - t)²→a + t²→b
問題文より t = 1/3 とすると、
→OR = (2/3)²→a + (1/3)²→b
=(4/9)→a + (1/9)→b

本設問では OA と OB がそれぞれ9等分されているので、
図でOから数えてOA上で4番めの位置にある破線と、
OB上で1番めの破線の交点がRの位置になります。

「図1」を見ると、R₁がそれに該当します。

「R₁」の選択肢が設問（オ）の解答となります。

前問（ウ）（エ）

→PQ = →OQ - → OP 
前問（イ）より、→OQ = t→b
設問（ア）より、→OP = (1 - t)→a

 

PQを t : (1 - t) に内分する点がRなので、
→PR = {t/(t + 1 -t)}→PQ
= t→PQ
= t²→b - t(1 - t)→a

 

よって、

→OR = →OP + →PR 
= (1 - t)→a + t²→b - t(1 - t)→a
= (1 -2t + t²)→a + t²→b
= (1 - t)²→a + t²→b

設問（イ）

OBを t : (1 - t) に内分する点がQなので、
→OQ = {t/(t + 1- t)}→OB
= t→b

設問（ア）

OAを (1 - t) : t に内分する点がPなので、
→OP = {(1 - t)/(1- t + t)}→OA
= (1 - t)→a

解説では、ベクトルaをaと書きます。

解答：R₁

解説：

（ウ）、（エ）の解答より、

OR=（1-t）²a+t²b

なので、t=1/3を代入すると、

OR=（4/9）a+（1/9）b

よって、aを4/9倍、bを1/9倍したベクトルを合成したものはR₁です。

PはOAを(1-t)：tに内分する点だから

従ってORはOAの4/9とOBの1/9の合成になるため、図よりR₁が正解です。