共通テスト（数学） 過去問
令和6年度（2024年度）追・試験
問106 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問6)

（※ベクトルOPを→OPと記します。）

問題文より直線OCと直線ODは垂直に交わるため、
ベクトルの内積を考えると
→OC・→OD = 0
前問（カ）より →OD =- k→a +→b であり、
問題文より →OC = →a +→b なので、
k(-|→a|² - →a・→b) +|→b|² + →a・→b = 0
よって、
k = (|→b|² + →a・→b)/(|→a|² + →a・→b)

「 (|→b|² + →a・→b)/(|→a|² + →a・→b)」の選択肢が設問（キ）の解答となります。
（※|→a|² + →a・→b = 0 とすると →a・(→a + →b) = 0 つまり →OA・→OC = 0 となりますが問題文より∠AOBは鋭角であり、かつOCは平行四辺形OACBの対角線なので→OA・→OC = 0は起こり得ない事になります。よって、|→a|² + →a・→b ≠ 0 です。）

前問（カ）

ベクトルは大きさと向きを保ったまま平行移動しても同じベクトルとみなされるので、
→BC = →OA
（問題文より→OC = →OA + →OB のため、 四角形OABC は平行四辺形です。）
OA : BD = 1 : k なので、BC : BD = 1 : k
よって、→DB = k→OA
他方で、→DB = →OB - →OD
したがって、
→OB - →OD = k→OA ⇔ →OD = →OB - k→OA

すなわち、→OD = -k→a + →b

解説では、ベクトルaをaと書きます。

解答：（|b|²+a・b）/（|a|²+a・b）

解説：

OC・OD=0

⇔（a+b）・（-ka+b）=0

⇔-k|a|²+a・b-ka・b+|b|²=0

⇔k（|a|²+a・b）=|b|²+a・b

⇔k=（|b|²+a・b）/（|a|²+a・b）

PはOAを(1-t)：tに内分する点だから