共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問34 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問5)
問題文
6点A，B，C，D，E，Fを頂点とし、三角形ABCとDEF，および四角形ABED，ACFD，BCFEを面とする五面体がある。ただし、直線ADとBEは平行でないとする。
以下では、例えば、面ABCを含む平面を平面ABC，面ABEDを含む平面を平面ABED，などということにする。
（2）五面体において、面ABCは一辺の長さが3の正三角形であり
AD＝7，BE＝11，CF＝17，DE＝9
であるとする。
また、6点A，B，C，D，E，Fはある一つの球面上にあるとし、その球面をSとする。直線ADとBEの交点をPとする。
（ⅰ）平面ABEDと球面Sが交わる部分は円であり、4点A，B，E，Dはその円周上にある。このことから、三角形PABとPEDは相似であることがわかり、その相似比は1：（ ウ ）である。したがって
（ ウ ）PA＝PB＋（ エオ ）
（ ウ ）PB＝PA＋（ カ ）
が成り立つ。よって
PA＝（ キ ）、PB＝（ ク ）
となる。
（ キ ）、（ ク ）にあてはまるものを1つ選べ。
以下では、例えば、面ABCを含む平面を平面ABC，面ABEDを含む平面を平面ABED，などということにする。
（2）五面体において、面ABCは一辺の長さが3の正三角形であり
AD＝7，BE＝11，CF＝17，DE＝9
であるとする。
また、6点A，B，C，D，E，Fはある一つの球面上にあるとし、その球面をSとする。直線ADとBEの交点をPとする。
（ⅰ）平面ABEDと球面Sが交わる部分は円であり、4点A，B，E，Dはその円周上にある。このことから、三角形PABとPEDは相似であることがわかり、その相似比は1：（ ウ ）である。したがって
（ ウ ）PA＝PB＋（ エオ ）
（ ウ ）PB＝PA＋（ カ ）
が成り立つ。よって
PA＝（ キ ）、PB＝（ ク ）
となる。
（ キ ）、（ ク ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
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共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）本試験 問34（数学Ⅰ・数学A（第3問） 問5） （訂正依頼・報告はこちら） （新しいタブで開く）
6点A，B，C，D，E，Fを頂点とし、三角形ABCとDEF，および四角形ABED，ACFD，BCFEを面とする五面体がある。ただし、直線ADとBEは平行でないとする。
以下では、例えば、面ABCを含む平面を平面ABC，面ABEDを含む平面を平面ABED，などということにする。
（2）五面体において、面ABCは一辺の長さが3の正三角形であり
AD＝7，BE＝11，CF＝17，DE＝9
であるとする。
また、6点A，B，C，D，E，Fはある一つの球面上にあるとし、その球面をSとする。直線ADとBEの交点をPとする。
（ⅰ）平面ABEDと球面Sが交わる部分は円であり、4点A，B，E，Dはその円周上にある。このことから、三角形PABとPEDは相似であることがわかり、その相似比は1：（ ウ ）である。したがって
（ ウ ）PA＝PB＋（ エオ ）
（ ウ ）PB＝PA＋（ カ ）
が成り立つ。よって
PA＝（ キ ）、PB＝（ ク ）
となる。
（ キ ）、（ ク ）にあてはまるものを1つ選べ。
以下では、例えば、面ABCを含む平面を平面ABC，面ABEDを含む平面を平面ABED，などということにする。
（2）五面体において、面ABCは一辺の長さが3の正三角形であり
AD＝7，BE＝11，CF＝17，DE＝9
であるとする。
また、6点A，B，C，D，E，Fはある一つの球面上にあるとし、その球面をSとする。直線ADとBEの交点をPとする。
（ⅰ）平面ABEDと球面Sが交わる部分は円であり、4点A，B，E，Dはその円周上にある。このことから、三角形PABとPEDは相似であることがわかり、その相似比は1：（ ウ ）である。したがって
（ ウ ）PA＝PB＋（ エオ ）
（ ウ ）PB＝PA＋（ カ ）
が成り立つ。よって
PA＝（ キ ）、PB＝（ ク ）
となる。
（ キ ）、（ ク ）にあてはまるものを1つ選べ。
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- キ：1 ク：4
- キ：3 ク：6
- キ：5 ク：4
- キ：6 ク：8
- キ：7 ク：6
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この過去問の解説 （3件）
01
太字の式①②は、どちらもPAとPBを用いて式を立てていますね。
PAとPBの連立方程式として解いてみるのが良いでしょう。
①式を3倍して9PA＝3PB+33 ...③
③式に②式を代入して
9PA＝PA+7+33
8PA＝40
PA＝5
②式にPA＝5を代入して、PB＝4
したがって、答えは （キ）＝5, （ク）＝4 です。
計算ミスに注意しましょう。
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02
問題から△PAB∽△PEDで、相似比が1:3なので
PA:PE =1:3
PA:PB+BE =1:3
PA:PB+11 =1:3
3PA=PB+11…①
PB:PD =1:3
PB:PA+AD =1:3
PB:PA+7 =1:3
3PB=PA+7 …②
➀、②を連立方程式を解きます。
計算すると
PA=5,PB=4が答えになります。
この選択肢が答えになります。
不定なものが２つあり、それに対する式が２つある場合は、連立方程式が解いていきましょう。
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03
4点A，B，D，Eは同一円周上にあるので、円周角の性質から三角形PABと三角形PEDは相似です。
その相似比は
AB：DE＝3：9＝1：3
ですから、
PA：PE＝1：3
PB：PD＝1：3
が成り立ちます。
したがって、
PE＝3PA
PD＝3PB
です。
また、参考図よりPはA，Bの上側にあるので、
PD＝PA＋AD＝PA＋7
PE＝PB＋BE＝PB＋11
となります。
これを上の式に入れると、
3PA＝PB＋11
3PB＝PA＋7
になります。
2つ目の式から
PA＝3PB−7
これを1つ目に入れて
3(3PB−7)=PB＋11
9PB−21=PB＋11
8PB=32
PB=4
よって、
PA=3×4−7=5
となります。
つまり、キ＝5、ク＝4です。
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