共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問82 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問4)

直線y=3xと，x軸で囲まれた部分の格子点を持ってグラフで表すと，
 

このようになり，
n=1，のときはx=1上の格子点の個数は2個あります。つまりa₁=2
同じように

n=2のとき，a₂=5
n=3のとき，a₃=8となります。

a₃-a₂=3，a₂-a₁=3となっているので
数列{aₙ}は，公差が，3の等差数列になります。

図形Tの内部は，直線y=3x，x軸，x=21で囲まれます。
よって，a₁~a₂₀までの和がTの内部にある格子点の個数になります。
 

{aₙ}は初項2，公差が3の等差数列で

この数列の第20項目までの和を求めていきます。
 

等差数列の和の公式にあてはめると，
1/2×20×{2×2+(20-1)×3}
=610
 

よって610になります。

この問題は、前問までで求めたことをそのまま使えば解けます。

図形Tは、

・y=3x

・x軸

・x=21

で囲まれています。

 

したがって、直線x=n上では、Tの内部にある点のy座標は、

0＜y＜3nを満たす整数です。

 

つまり、入るのは、1，2，3，…，3n-1ですから、

個数は3n-1個になります。

これを使うと、

a₂=3×2-1=5

a₃=3×3-1=8

となり、数列{an}は公差が3の等差数列だと分かりました。

一般項は、a_n＝3n－1です。