共通テスト（数学）過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問83 (数学Ⅱ・数学B（第4問）問5)

問題文

（　ケ　）にあてはまるものを1つ選べ。

座標平面上で、x座標とy座標がともに整数である点を格子点という。いくつかの直線や曲線で囲まれた図形の内部にある格子点の個数を考えよう。ただし、図形の内部は、境界（境界線）を含まないものとする。
例えば、直線y＝−x＋5とx軸、y軸で囲まれた図形をSとする。Sは図1の灰色部分であり、Sの内部にある格子点を黒丸、内部にない格子点を白丸で表している。したがって、Sの内部にある格子点の個数は6である。

（2）nを自然数とする。

関数y＝2^xのグラフとx軸、y軸および直線x＝n＋1で囲まれた図形をUとする。
kを整数とする。直線x＝kがUの内部にある格子点を通るとき、直線x＝k上の格子点でUの内部にあるものの個数は（　ケ　）である。したがって、Uの内部にある格子点の個数は以下の式となる。

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問題

共通テスト（数学）試験令和7年度（2025年度）本試験問83（数学Ⅱ・数学B（第4問）問5）（訂正依頼・報告はこちら）

2k−2
2k−1
2k
2^k−1−2
2^k−1−1
2^k−1
2^k−2
2^k−1
2^k

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この過去問の解説（2件）

関数y=2^xと，x軸でかこまれた部分の格子点の様子をグラフで表すと，

このようになり，

n=1のときはx=1上の格子点の個数をかぞえると1個，つまりa₁=1
同様に

n=2のときa₂=2²-1=3
n=3のときa₃=2³-1=7

となります。

よって，n=kのとき

つまりa_k=2^k-1となります。

選択肢8. 2^k−1

この選択肢が正解です。

まとめ

こちらも具体的に整理つつ、個数が2ⁿよりも１つ少ないことに気づきたいです。

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図形Uは、

・y＝2^x

・x軸

・y軸

・直線x＝n＋1

で囲まれています。

ここで、直線x＝kを考えます。
この直線上で図形Uの内部にある点は、

・下はx軸なので y＝0 は境界

・上はy＝2^k なので y＝2^k も境界

です。

したがって、内部にある格子点のy座標は

1，2，3，…，2^k−1

です。
この個数は、2^k−1個になります。

選択肢8. 2^k−1

正解です。

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