共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問83 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問5)

指数関数などが入ってきて難しく感じるかもしれませんが、Tのときと同じように考えてみましょう。

下端はy＝0とx＝kの交点ですから、（k, 0）

上端はy＝2^xとx＝kの交点ですから、（k, 2^k）

左端はy＝0です。

境界を含んではいけませんから、上に挙げた点は答えに含まれません。

以上の条件を踏まえて問題を解いてみましょう。

関数y=2^xと，x軸でかこまれた部分の格子点の様子をグラフで表すと，
 

このようになり，
 

n=1のときはx=1上の格子点の個数をかぞえると1個，つまりa₁=1
同様に

n=2のときa₂=2²-1=3
n=3のときa₃=2³-1=7

となります。
 

よって，n=kのとき

つまりa_k=2^k-1となります。

図形Uは、

・y＝2^x

・x軸

・y軸

・直線x＝n＋1

で囲まれています。

ここで、直線x＝kを考えます。
この直線上で図形Uの内部にある点は、

・下はx軸なので y＝0 は境界

・上はy＝2^k なので y＝2^k も境界

です。

したがって、内部にある格子点のy座標は

1，2，3，…，2^k−1

です。
この個数は、2^k−1個になります。