共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問85 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問7)

関数y=2^xと，x軸でかこまれた部分の格子点の様子をグラフで表すと，
 

このようになり，
 

n=1のときはx=1上の格子点の個数をかぞえると1個，つまりa₁=1
同様に

n=2のときa₂=2²-1=3
n=3のときa₃=2³-1=7

となります。
 

よって，n=kのとき

つまりa_k=2^k-1となります。

また、図形Uの内部は，関数y=2^x，x軸，x=n+1で囲まれます。
よって，a₁~a_nまでの和がUの内部にある格子点の個数になります。

したがって

Σ[k=1..n](2^k-1)

=2(2ⁿ-1)/(2-1)-n

=2ⁿ⁺¹-n-2

よって8の選択肢が正解です。

この問題は、前問までの結果をそのまま使えば求められます。

前問までで、

（ケ）＝2^k−1

（コ）＝n

と分かっています。

図形Uは、

・y＝2^x

・x軸

・y軸

・直線x＝n＋1

で囲まれています。

 

ここで、直線x＝kを考えます。
この直線上で図形Uの内部にある点は、

・下はx軸なので y＝0 は境界

・上はy＝2^k なので y＝2^k も境界

です。

したがって、内部にある格子点のy座標は

1，2，3，…，2^k−1

です。
この個数は、2^k−1個になります。

 

次に考えるのは、kをどこからどこまで動かして足すかです。

図形Uは、y＝2^x、x軸、y軸、直線x＝n＋1で囲まれていて、

このうち、x＝0はy軸で境界、x＝n＋1も境界です。
問題では境界を含まないので、内部の格子点を通る直線は

x＝1，2，3，…，n

です。
したがって、和の上の数である（コ）に入るのはnです。

したがって、Uの内部にある格子点の個数は

Σk=1→n

です。

これを分けて計算すると、

Σ[k=1→n]2^k − Σ[k=1→n]1

となります。

ここで、

Σ[k=1→n]2^k＝2^(n＋1)−2

Σ[k=1→n]1＝n

なので、

(2^(n＋1)−2)−n＝2^(n＋1)−n−2

になります。