共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問86 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問8)

問題より
a>0⇒グラフが上に凸

b²-4ac<0⇒x軸と共有点を持たない

これらがわかります。

また，a,b,cが全て整数なので

放物線y＝ax²＋bx＋c上の点は全て格子点上にあります。
 

一例をグラフで表すと，

このようになり，n=1のときはx=1上の格子点の個数を数えると a₁=a+b+c-1
同様に，
n=2のとき，a₂=4a+2b+c-1
n=3のとき，a₃=9a+3b+c-1となり，
…
n=kのとき，aₖ=ak²+bk+c-1 となります

図形V内部の格子点個数は

a₁〜a_nまでの和になります。

よって，
Σ[k=1..n](ak²+bk+c-1)

=1/6an(n+1)(2n+1)+b/2n(n+1)+cn-n

これを計算すると，
1/3an³+1/2(a+b)n²+1/6(a+3b+6c-6)n

内側の個数がn³となるので，係数を比較すると，

1/3a=1
1/2(a+b)=0
1/6(a+3b+6c-6)=0
 

これを解くと
a=3，b=-3，c=2となります。

図形Vの内部にある格子点は、直線x＝kごとに縦に数えて、最後に足すと求められます。

放物線がy＝ax²＋bx＋cなので、

直線x＝k上では、上の境界の高さはak²＋bk＋cです。

境界は含まないので、内部にある格子点の個数は、

ak²＋bk＋c−1個になります。

これを k＝1からnまで 足したものが、問題文より n³ に等しくなるので、その条件から a,b,c を決めます。