共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問102 (数学Ⅱ・数学B（第6問） 問6)

問題より△OACと△OABは合同なので

|OB^→|=|OC^→|

∠AOB＝∠AOC

が成り立ちます。

OA^→・OC^→

=|OA^→|・|OC^→|cos∠AOC

=|OA^→|・|OB^→|cos∠AOB

=OA^→・OB^→

これより

OA^→・OC^→=OA^→・OB^→

これらに

OA^→=（1， 0， 0）

OB^→=（a， √(1−a²)， 0）
OC→=（x， y， z）

を代入して計算します。

1・x+0・y+0・z=1・a+0・√(1−a²)+0・0

x=a…②

問題より△OBCと△OABは合同なので

|OC^→|=|OA^→|

∠BOC＝∠AOB

が成り立ちます。

OB^→・OC^→

=|OB^→|・|OC^→|cos∠BOC

=|OA^→|・|OB^→|cos∠AOB

=OA^→・OB^→

これより

OB^→・OC^→=OA^→・OB^→

これらに

OA^→=（1， 0， 0）

OB^→=（a， √(1−a²)， 0）
OC→=（x， y， z）

を代入して計算します。

a・x+√(1−a²)・y+ 0・z=1・a+0・√(1−a²)+0・0

ax+｛√(1−a²)｝y=a…③

②,③の式にa=3/5を代入します。

②よりx=3/5

③に代入して計算するとy=3/10になります。

x= 3/5 , y = 3/10

を式① x² + y² + z² =1 に代入すると

z=±11/2√5

よって➀を満たすz実数はちょうど２つになります。
 

x= 3/5 , y = 3/10 を式① x² + y² + z² =1 に代入すると、
9/25+9/100 + z² = 1 ⇔ z² =(100-36-9)/100 =55/100 (=11/20)

ここで、設問の選択肢がｚの値ではなく「何個の値を取り得るか」というものになっています。
式からは、z = (√55)/10 と z ＝-(√55)/10 の 2 通りの値が得られますが、両方があり得るかどうかに注意します。
 

点Cは球面S上にあるので -1 ≦ z ≦ 1をみたす必要があります。 
計算結果から得られた z の絶対値は1未満ですので、z ＝±(√55)/10は両方とも z が取り得る範囲内にあると判断できます。
よって、式①を満たすｚの値は「ちょうど二つある」という選択肢が解答となります。

x= 3/5 , y = 3/10は設問（カ）～（ケ）の解答、その導出には（イ）～（オ）を使用します。 x² + y² + z² =1 の右辺は（ア）から、あるいは点Cは半径１の球面上という問題文の設定からです。

（カ）～（ケ）

設問（ウ）（エ）（オ）より、
式②は x = a
式③は ax + √(1-a²) y = a   
問題文より a = 3/5 であるとすると、
x= a = 3/5

次に、式③の両辺から ax = (3/5)a を引くと 
√(1-a²) y = (2/5)a
a = 3/5 を代入して計算すると

y =(5/4)・(6/25)=30/100=3/10 
以上から（カ）3  （キ）5  （ク）3 （ケ）10　が解答となります。

（エ）（オ）

設問（イ）の解答により
→OB・→OC＝→OA・→OBであり、

設問（ウ）の解答により
→OA・→OB＝ a ですので、
→OB・→OC＝→OA・→OB＝ a 
他方、→OB・→OC を成分によって計算すると、

 →OB・→OC ＝ a・x + √(1-a²) ・y +0・z ＝ ax + √(1-a²) y 
よって、 ax + √(1-a²) y= a
（エ）には a, （オ）には √(1-a²) が入るので、その組み合わせの選択肢が解答となります。

（ウ）

→OA・→OB＝（1・a）＋(0・√(1-a²))＋(0・0)＝a

また→OA・→OC＝→OA・→OBですから、→OA・→OC＝ a という事になります。
この時点では点Cの座標 x,y,z のいずれも値が不明ですが、
→OA＝(1,0,0)ですので→OA・→OCの計算に関しては→OA・→OC＝(1・x) +(0・y)+(0・z)＝x となります。
他方で→OA・→OC＝ a でしたから、x = a となります。これが（ウ）の解答となります。

（イ）

内積とは２つのベクトルの長さと、なす角の余弦（cosθ）の積です。
問題文中の△OACと△OABは「合同である（つまり対応する辺の長さが等しい）」「対応する角の大きさも等しい」という記述から、
「△OABにおける、△OACと対応する辺のベクトル同士の内積」という選択肢である→OA・→OBが（イ）の解答となります。

（ア）

まず、点Cは原点を中心とする半径１の球面S上にあると問題文に書いてありますから、
原点であるOと点Cの距離は１です。
したがって辺OCの長さの２乗である|→OC|²は1²＝１です。

これが（ア）の解答となります。

※ ベクトルaは→aと表記します。

空欄（ア）

最初の空欄（ア）の左辺は|→(OC)|²とありますので、→(OC)の長さの2乗を問われていることに気がつけるかがポイントです。
そこで、問題本文中のOとCの位置関係に注目します。
最初の空欄（ア）の一行上に「CがS上にあるとき」とあります。
また、問題文冒頭では球面Sについて「Oを中心とする半径1の球面をSとする。」と記載されています。
つまり、点Cは点Oを中心とする半径1の球面S上にあるので、OC間の距離は1となります。
よって、最初の空欄（ア）は、→(OC)の長さの2乗が入りますので、回答は1²=1となります。
x²+y²+z²=1 ... ①

選択肢を見ると、zの値ではなく、zの解の個数を答えることになります。
zは、①より
z²=1-x²-y²
ですので、
z=±√(1-x²-y²)
となり、
x²+y²<1
でzは解を2つ持つことがわかります。

空欄（イ）

△OAC(橙色三角形)と△OAB(緑色三角形)の2つの三角形の対応関係は、
→(OA)は共通
点Cも点Bも球面S上なので、|→(OC)|=|→(OB)|=1
△ABCが正三角形であることから|→(AC)|=|→(AB)|
だとわかります。
以上から、
→(OA)・→(OC)=→(OA)・→(OB)
になります。

空欄（ウ）

各ベクトル成分は問題本文より以下のとおりです。
→(OA)=（1， 0， 0）
→(OB)=（a， √(1−a²)， 0）
→(OC)=（x， y， z）
各ベクトルの成分から
→(OA)・→(OC)=1*x+0*y+0*z=x
→(OA)・→(OB)=1*a+0*√(1−a²)+0*z=a
となりますので、よって
→(OA)・→(OC)=→(OA)・→(OB)
x=a ... ②
となります。

空欄（エ）（オ）

各ベクトルの成分から
→(OB)・→(OC)=a*x+√(1−a²)*y+0*z=ax+(√(1−a²))y
→(OA)・→(OB)=1*a+0*√(1−a²)+0*z=a
となりますので、よって
→(OB)・→(OC)=→(OA)・→(OB)
ax+(√(1−a²))y=a ... ③
となります。

空欄（カ）〜（コ）

②にa=3/5を代入すると、 
x=a=3/5
となります。
③より
y=(a(1-x))/√(1−a²)=3/10
となります。

今、
x=3/5
y=3/10
なので、
x²+y²=45/100<1
となり、zは解を2つ持ちます。
なお、zを実際に求めると、
z=±√(1-x²-y²)=±√(11/20)
となります。