大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問103 (数学Ⅱ・数学B（第6問） 問7)

※ ベクトルaは→aと表記します。

空欄（ア）

最初の空欄（ア）の左辺は|→(OC)|²とありますので、→(OC)の長さの2乗を問われていることに気がつけるかがポイントです。
そこで、問題本文中のOとCの位置関係に注目します。

最初の空欄（ア）の一行上に「CがS上にあるとき」とあります。
また、問題文冒頭では球面Sについて「Oを中心とする半径1の球面をSとする。」と記載されています。
つまり、点Cは点Oを中心とする半径1の球面S上にあるので、OC間の距離は1となります。
よって、最初の空欄（ア）は、→(OC)の長さの2乗が入りますので、回答は1²=1となります。

x²+y²+z²=1 ... ①

選択肢を見ると、zの値ではなく、zの解の個数を答えることになります。
zは、①より
z²=1-x²-y²
ですので、
z=±√(1-x²-y²)
となり、
x²+y²<1
でzは解を2つ持つことがわかります。

空欄（イ）

△OAC(橙色三角形)と△OAB(緑色三角形)の2つの三角形の対応関係は、
→(OA)は共通
点Cも点Bも球面S上なので、|→(OC)|=|→(OB)|=1
△ABCが正三角形であることから|→(AC)|=|→(AB)|
だとわかります。
以上から、
→(OA)・→(OC)=→(OA)・→(OB)
になります。

空欄（ウ）

各ベクトル成分は問題本文より以下のとおりです。
→(OA)=（1， 0， 0）
→(OB)=（a， √(1−a²)， 0）
→(OC)=（x， y， z）
各ベクトルの成分から
→(OA)・→(OC)=1*x+0*y+0*z=x
→(OA)・→(OB)=1*a+0*√(1−a²)+0*z=a
となりますので、よって
→(OA)・→(OC)=→(OA)・→(OB)
x=a ... ②
となります。

空欄（エ）（オ）

各ベクトルの成分から
→(OB)・→(OC)=a*x+√(1−a²)*y+0*z=ax+(√(1−a²))y
→(OA)・→(OB)=1*a+0*√(1−a²)+0*z=a
となりますので、よって
→(OB)・→(OC)=→(OA)・→(OB)
ax+(√(1−a²))y=a ... ③
となります。

②にa=-3/5を代入すると、 
x=a=-3/5
③より
y=(a(1-x))/√(1−a²)=-6/5
となります。
しかしここで、yは半径1の球面S上にあるはずなので、
-1≦y≦1
を満たす必要がありますが、
a=-3/5のときy=-6/5<-1
となってしまい、解として不適切になります。
よって、a=-3/5のときに解はありません。
なお、実際にx²+y²<1に代入すると不等式が成り立たないことがわかります。