共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問103 (数学Ⅱ・数学B（第6問） 問7)

前問に引き続き、点Ｃのｚ座標が取り得る値の個数を問う問題です。
a (=x) の値が変わる事で、yの値が変わる事が予想されます。
式③は ax + √(1-a²) y = a 
x = a = -3/5 から、
√(1-a²) y = (1-x)a = (1 + 3/5)a = (8/5)a
a= -3/5 を代入すると、
(4/5)y = -24/25 ⇔ y=-6/5
実はこの時点で、点Ｃは原点を中心とした半径１の球面上に存在できない事が分かります。-1≦y≦1であるためです。

念のため、 x と y の値を式①に代入してみると
9/25 + 36/25 +z² = 1 ⇔ z² = -20/25 =-4/5 
となり、ｚは実数解を持てない事が分かります。
よって、①を満たす実数 z は存在しません。

すなわち、

△ABCが正三角形となるための球面S上の点Cは「ない」という選択肢が解答となります。
 

式③は（エ）（オ）、その導出には（イ）（ウ）を使用します。 x² + y² + z² =1 の右辺は（ア）から、あるいは点Cは半径１の球面上という問題文の設定からです。ｙの係数√(1-a²)の値は問題文（2）（i）の時の設定 a= 3/5 の時と同じ値になるので、計算済の値をそのまま使えます。

（エ）（オ）

設問（イ）の解答により
→OB・→OC＝→OA・→OBであり、

設問（ウ）の解答により
→OA・→OB＝ a ですので、
→OB・→OC＝→OA・→OB＝ a 
他方、→OB・→OC を成分によって計算すると、

 →OB・→OC ＝ a・x + √(1-a²) ・y +0・z ＝ ax + √(1-a²) y 
よって、 ax + √(1-a²) y= a
（エ）には a, （オ）には √(1-a²) が入るので、その組み合わせの選択肢が解答となります。

（ウ）

→OA・→OB＝（1・a）＋(0・√(1-a²))＋(0・0)＝a

また→OA・→OC＝→OA・→OBですから、→OA・→OC＝ a という事になります。
この時点では点Cの座標 x,y,z のいずれも値が不明ですが、
→OA＝(1,0,0)ですので→OA・→OCの計算に関しては→OA・→OC＝(1・x) +(0・y)+(0・z)＝x となります。
他方で→OA・→OC＝ a でしたから、x = a となります。これが（ウ）の解答となります。

（イ）

内積とは２つのベクトルの長さと、なす角の余弦（cosθ）の積です。
問題文中の△OACと△OABは「合同である（つまり対応する辺の長さが等しい）」「対応する角の大きさも等しい」という記述から、
「△OABにおける、△OACと対応する辺のベクトル同士の内積」という選択肢である→OA・→OBが（イ）の解答となります。

（ア）

まず、点Cは原点を中心とする半径１の球面S上にあると問題文に書いてありますから、
原点であるOと点Cの距離は１です。
したがって辺OCの長さの２乗である|→OC|²は1²＝１です。

これが（ア）の解答となります。

※ ベクトルaは→aと表記します。

空欄（ア）

最初の空欄（ア）の左辺は|→(OC)|²とありますので、→(OC)の長さの2乗を問われていることに気がつけるかがポイントです。
そこで、問題本文中のOとCの位置関係に注目します。

最初の空欄（ア）の一行上に「CがS上にあるとき」とあります。
また、問題文冒頭では球面Sについて「Oを中心とする半径1の球面をSとする。」と記載されています。
つまり、点Cは点Oを中心とする半径1の球面S上にあるので、OC間の距離は1となります。
よって、最初の空欄（ア）は、→(OC)の長さの2乗が入りますので、回答は1²=1となります。

x²+y²+z²=1 ... ①

選択肢を見ると、zの値ではなく、zの解の個数を答えることになります。
zは、①より
z²=1-x²-y²
ですので、
z=±√(1-x²-y²)
となり、
x²+y²<1
でzは解を2つ持つことがわかります。

空欄（イ）

△OAC(橙色三角形)と△OAB(緑色三角形)の2つの三角形の対応関係は、
→(OA)は共通
点Cも点Bも球面S上なので、|→(OC)|=|→(OB)|=1
△ABCが正三角形であることから|→(AC)|=|→(AB)|
だとわかります。
以上から、
→(OA)・→(OC)=→(OA)・→(OB)
になります。

空欄（ウ）

各ベクトル成分は問題本文より以下のとおりです。
→(OA)=（1， 0， 0）
→(OB)=（a， √(1−a²)， 0）
→(OC)=（x， y， z）
各ベクトルの成分から
→(OA)・→(OC)=1*x+0*y+0*z=x
→(OA)・→(OB)=1*a+0*√(1−a²)+0*z=a
となりますので、よって
→(OA)・→(OC)=→(OA)・→(OB)
x=a ... ②
となります。

空欄（エ）（オ）

各ベクトルの成分から
→(OB)・→(OC)=a*x+√(1−a²)*y+0*z=ax+(√(1−a²))y
→(OA)・→(OB)=1*a+0*√(1−a²)+0*z=a
となりますので、よって
→(OB)・→(OC)=→(OA)・→(OB)
ax+(√(1−a²))y=a ... ③
となります。

②にa=-3/5を代入すると、 
x=a=-3/5
③より
y=(a(1-x))/√(1−a²)=-6/5
となります。
しかしここで、yは半径1の球面S上にあるはずなので、
-1≦y≦1
を満たす必要がありますが、
a=-3/5のときy=-6/5<-1
となってしまい、解として不適切になります。
よって、a=-3/5のときに解はありません。
なお、実際にx²+y²<1に代入すると不等式が成り立たないことがわかります。