共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問104 (数学Ⅱ・数学B（第6問） 問8)

式① x² + y² + z² = 1 （点Ｃが球面Ｓ上にある事を表す式）
式② x = a （△OACと△OABの合同関係と内積計算から導出）
式③ ax + √(1-a²) y= a（△OBCと△OABの合同関係、②と内積計算から導出）
y を表す式は設問にはなっていませんが、

②③からy=(a-a²)/√(1-a²) =a(1-a)/√(1-a²)

次に、設問は①からz² を計算するものとなっていて、
z² =1 - x² -  y² = 1 - a² - a²(1- a)²/(1-a²) 

= 1 - a² - a²(1-a)²/{(1-a)(1+a)} = 1 - a² - a²(1-a)/(1+a)
=(1 + a -a² -a³ -a² + a³)/(1+a)=(1 + a -2a²)/(1+a) = (2a +1)(1-a)/(1+a)
設問は計算結果の分子だけを問うものなので、解答は (2a +1)(1-a)の選択肢となります。

式①は（ア）から、あるいは点Cは半径１の球面上という問題文の設定から得られます。
式②は（イ）（ウ）から得られます。
式③は（イ）～（オ）から得られます。

（ア）

まず、点Cは原点を中心とする半径１の球面S上にあると問題文に書いてありますから、
原点であるOと点Cの距離は１です。
したがって辺OCの長さの２乗である|→OC|²は1²＝１です。

これが（ア）の解答となります。

（イ）

内積とは２つのベクトルの長さと、なす角の余弦（cosθ）の積です。
問題文中の△OACと△OABは「合同である（つまり対応する辺の長さが等しい）」「対応する角の大きさも等しい」という記述から、
「△OABにおける、△OACと対応する辺のベクトル同士の内積」という選択肢である→OA・→OBが（イ）の解答となります。

（ウ）

→OA・→OB＝（1・a）＋(0・√(1-a²))＋(0・0)＝a

また→OA・→OC＝→OA・→OBですから、→OA・→OC＝ a という事になります。
この時点では点Cの座標 x,y,z のいずれも値が不明ですが、
→OA＝(1,0,0)ですので→OA・→OCの計算に関しては→OA・→OC＝(1・x) +(0・y)+(0・z)＝x となります。
他方で→OA・→OC＝ a でしたから、x = a となります。これが（ウ）の解答となります。

（エ）（オ）

設問（イ）の解答により
→OB・→OC＝→OA・→OBであり、

設問（ウ）の解答により
→OA・→OB＝ a ですので、
→OB・→OC＝→OA・→OB＝ a 
他方、→OB・→OC を成分によって計算すると、

 →OB・→OC ＝ a・x + √(1-a²) ・y +0・z ＝ ax + √(1-a²) y 
よって、 ax + √(1-a²) y= a
（エ）には a, （オ）には √(1-a²) が入るので、その組み合わせの選択肢が解答となります。

※ ベクトルaは→aと表記します。

空欄（ア）

最初の空欄（ア）の左辺は|→(OC)|²とありますので、→(OC)の長さの2乗を問われていることに気がつけるかがポイントです。
そこで、問題本文中のOとCの位置関係に注目します。
最初の空欄（ア）の一行上に「CがS上にあるとき」とあります。
また、問題文冒頭では球面Sについて「Oを中心とする半径1の球面をSとする。」と記載されています。
つまり、点Cは点Oを中心とする半径1の球面S上にあるので、OC間の距離は1となります。
よって、最初の空欄（ア）は、→(OC)の長さの2乗が入りますので、回答は1²=1となります。
x²+y²+z²=1 ... ①

空欄（イ）

△OAC(橙色三角形)と△OAB(緑色三角形)の2つの三角形の対応関係は、
→(OA)は共通
点Cも点Bも球面S上なので、|→(OC)|=|→(OB)|=1
△ABCが正三角形であることから|→(AC)|=|→(AB)|
だとわかります。
以上から、
→(OA)・→(OC)=→(OA)・→(OB)
になります。

空欄（ウ）

各ベクトル成分は問題本文より以下のとおりです。
→(OA)=（1， 0， 0）
→(OB)=（a， √(1−a²)， 0）
→(OC)=（x， y， z）
各ベクトルの成分から
→(OA)・→(OC)=1*x+0*y+0*z=x
→(OA)・→(OB)=1*a+0*√(1−a²)+0*z=a
となりますので、よって
→(OA)・→(OC)=→(OA)・→(OB)
x=a ... ②
となります。

空欄（エ）（オ）

各ベクトルの成分から
→(OB)・→(OC)=a*x+√(1−a²)*y+0*z=ax+(√(1−a²))y
→(OA)・→(OB)=1*a+0*√(1−a²)+0*z=a
となりますので、よって
→(OB)・→(OC)=→(OA)・→(OB)
ax+(√(1−a²))y=a ... ③
となります。

②より
x=a

③より
y=(a(1-x))/√(1−a²)=(a(1-a))/√(1−a²)
①より
z²=1-x²-y²
=1-a²-(a²(1-a)²)/(1−a²)
=1-a²-(a²(1-a)²)/((1+a)(1-a))
=1-a²-(a²(1-a))/(1+a)
=((1-a²)(1+a)-a²(1-a))/(1+a)
=(1-a²+a-a³-a²+a³)/(1+a)
=(1+a-2a²)/(1+a)
=((1+２a)(1-a))/(1+a)
となります。