大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問105 (数学Ⅱ・数学B（第6問） 問9)

※ ベクトルaは→aと表記します。

空欄（ア）

最初の空欄（ア）の左辺は|→(OC)|²とありますので、→(OC)の長さの2乗を問われていることに気がつけるかがポイントです。
そこで、問題本文中のOとCの位置関係に注目します。
最初の空欄（ア）の一行上に「CがS上にあるとき」とあります。
また、問題文冒頭では球面Sについて「Oを中心とする半径1の球面をSとする。」と記載されています。
つまり、点Cは点Oを中心とする半径1の球面S上にあるので、OC間の距離は1となります。
よって、最初の空欄（ア）は、→(OC)の長さの2乗が入りますので、回答は1²=1となります。
x²+y²+z²=1 ... ①

空欄（イ）

△OAC(橙色三角形)と△OAB(緑色三角形)の2つの三角形の対応関係は、
→(OA)は共通
点Cも点Bも球面S上なので、|→(OC)|=|→(OB)|=1
△ABCが正三角形であることから|→(AC)|=|→(AB)|
だとわかります。
以上から、
→(OA)・→(OC)=→(OA)・→(OB)
になります。

空欄（ウ）

各ベクトル成分は問題本文より以下のとおりです。
→(OA)=（1， 0， 0）
→(OB)=（a， √(1−a²)， 0）
→(OC)=（x， y， z）
各ベクトルの成分から
→(OA)・→(OC)=1*x+0*y+0*z=x
→(OA)・→(OB)=1*a+0*√(1−a²)+0*z=a
となりますので、よって
→(OA)・→(OC)=→(OA)・→(OB)
x=a ... ②
となります。

空欄（エ）（オ）

各ベクトルの成分から
→(OB)・→(OC)=a*x+√(1−a²)*y+0*z=ax+(√(1−a2))y
→(OA)・→(OB)=1*a+0*√(1−a²)+0*z=a
となりますので、よって
→(OB)・→(OC)=→(OA)・→(OB)
ax+(√(1−a²))y=a ... ③
となります。

空欄（ス）

②より
x=a
③より
y=(a(1-x))/√(1−a²)=(a(1-a))/√(1−a²)
①より
z²=1-x²-y²
=1-a²-(a²(1-a)²)/(1−a²)
=1-a²-(a²(1-a)²)/((1+a)(1-a))
=1-a²-(a²(1-a))/(1+a)
=((1-a²)(1+a)-a²(1-a))/(1+a)
=(1-a²+a-a³-a²+a³)/(1+a)
=(1+a-2a²)/(1+a)
=((1+２a)(1-a))/(1+a)
となります。

問題文にあるように、Z²≧0から
Z²=(2a+1)(1-a)/(1+a)≧0
また、-1<a<1から1+a>0なので、
(2a+1)(1-a)≧0
となります。
また、-1<a<1から1-a>0となり、
2a+1≧0
a≧-1/2
となります。
-1<a<1なので、最終的には、
-1/2≦a<1
となります。