共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問105 (数学Ⅱ・数学B（第6問） 問9)

問題より△OACと△OABは合同なので

|OB^→|=|OC^→|

∠AOB＝∠AOC

が成り立ちます。

OA^→・OC^→

=|OA^→|・|OC^→|cos∠AOC

=|OA^→|・|OB^→|cos∠AOB

=OA^→・OB^→

これより

OA^→・OC^→=OA^→・OB^→

これらに

OA^→=（1， 0， 0）

OB^→=（a， √(1−a²)， 0）
OC→=（x， y， z）

を代入して計算します。

1・x+0・y+0・z=1・a+0・√(1−a²)+0・0

x=a…②

問題より△OBCと△OABは合同なので

|OC^→|=|OA^→|

∠BOC＝∠AOB

が成り立ちます。

OB^→・OC^→

=|OB^→|・|OC^→|cos∠BOC

=|OA^→|・|OB^→|cos∠AOB

=OA^→・OB^→

これより

OB^→・OC^→=OA^→・OB^→

これらに

OA^→=（1， 0， 0）

OB^→=（a， √(1−a²)， 0）
OC→=（x， y， z）

を代入して計算します。

a・x+√(1−a²)・y+ 0・z=1・a+0・√(1−a²)+0・0

ax+｛√(1−a²)｝y=a…③

③の式に②を代入して整理すると

y=a(1-a)/√(1−a²)…③'

②と③'を➀の式に代入します。

z²

=1-x²-y²

=1-a²-｛a(1-a)/√(1−a²)｝

=(1-a)(1+2a)/(1+a)

問題より

z²≧0,1+a>0をみたすようにaの範囲を求めます。

(1-a)(1+2a)/(1+a)≧0

(1-a)(1+2a)≧0

(a-1)(2a+1)≦0

-1/2≦a≦1

また問題の条件に

-1<a<1があるのでこれと合わせると

-1/2≦a＜1になります。

設問は、前問の結果(2a +1)(1-a)が０以上となる条件を求めるものとなっています。
すなわち、２次関数の問題となっています。

この２次関数は、０になる値はa =-1/2 と a =1 です。
グラフを思い浮かべると分かりやすいと思いますが、
この２次関数は2次の項の係数が負であり、グラフは「上に凸（とつ）」の形です。
 

よって、(2a +1)(1-a)≧0 となる範囲は -1/2 ≦ a < 1であり、この不等式が正解の選択肢になります。
（この問題では -1 < a < 1 という条件がありますので、-1/2≦a≦1ではなく-1/2≦a<1となります。）
 

前問までの結果（ア）～（オ）および（ス）（本設問（セ）に直接必要なもの）

（ス）

式① x² + y² + z² = 1 （点Ｃが球面Ｓ上にある事を表す式）
式② x = a （△OACと△OABの合同関係と内積計算から導出）
式③ ax + √(1-a²) y= a（△OBCと△OABの合同関係、②と内積計算から導出）
y を表す式は設問にはなっていませんが、

②③からy=(a-a²)/√(1-a²) =a(1-a)/√(1-a²)

次に、設問は①からz² を計算するものとなっていて、
z² =1 - x² -  y² = 1 - a² - a²(1- a)²/(1-a²) 

= 1 - a² - a²(1-a)²/{(1-a)(1+a)} = 1 - a² - a²(1-a)/(1+a)
=(1 + a -a² -a³ -a² + a³)/(1+a)=(1 + a -2a²)/(1+a) = (2a +1)(1-a)/(1+a)
設問は計算結果の分子だけを問うものなので、解答は (2a +1)(1-a)の選択肢となります。

（ア）

まず、点Cは原点を中心とする半径１の球面S上にあると問題文に書いてありますから、
原点であるOと点Cの距離は１です。
したがって辺OCの長さの２乗である|→OC|²は1²＝１です。

これが（ア）の解答となります。

（イ）

内積とは２つのベクトルの長さと、なす角の余弦（cosθ）の積です。
問題文中の△OACと△OABは「合同である（つまり対応する辺の長さが等しい）」「対応する角の大きさも等しい」という記述から、
「△OABにおける、△OACと対応する辺のベクトル同士の内積」という選択肢である→OA・→OBが（イ）の解答となります。

（ウ）

→OA・→OB＝（1・a）＋(0・√(1-a²))＋(0・0)＝a

また→OA・→OC＝→OA・→OBですから、→OA・→OC＝ a という事になります。
この時点では点Cの座標 x,y,z のいずれも値が不明ですが、
→OA＝(1,0,0)ですので→OA・→OCの計算に関しては→OA・→OC＝(1・x) +(0・y)+(0・z)＝x となります。
他方で→OA・→OC＝ a でしたから、x = a となります。これが（ウ）の解答となります。

（エ）（オ）

設問（イ）の解答により
→OB・→OC＝→OA・→OBであり、

設問（ウ）の解答により
→OA・→OB＝ a ですので、
→OB・→OC＝→OA・→OB＝ a 
他方、→OB・→OC を成分によって計算すると、

 →OB・→OC ＝ a・x + √(1-a²) ・y +0・z ＝ ax + √(1-a²) y 
よって、 ax + √(1-a²) y= a
（エ）には a, （オ）には √(1-a²) が入るので、その組み合わせの選択肢が解答となります。

※ ベクトルaは→aと表記します。

空欄（ア）

最初の空欄（ア）の左辺は|→(OC)|²とありますので、→(OC)の長さの2乗を問われていることに気がつけるかがポイントです。
そこで、問題本文中のOとCの位置関係に注目します。
最初の空欄（ア）の一行上に「CがS上にあるとき」とあります。
また、問題文冒頭では球面Sについて「Oを中心とする半径1の球面をSとする。」と記載されています。
つまり、点Cは点Oを中心とする半径1の球面S上にあるので、OC間の距離は1となります。
よって、最初の空欄（ア）は、→(OC)の長さの2乗が入りますので、回答は1²=1となります。
x²+y²+z²=1 ... ①

空欄（イ）

△OAC(橙色三角形)と△OAB(緑色三角形)の2つの三角形の対応関係は、
→(OA)は共通
点Cも点Bも球面S上なので、|→(OC)|=|→(OB)|=1
△ABCが正三角形であることから|→(AC)|=|→(AB)|
だとわかります。
以上から、
→(OA)・→(OC)=→(OA)・→(OB)
になります。

空欄（ウ）

各ベクトル成分は問題本文より以下のとおりです。
→(OA)=（1， 0， 0）
→(OB)=（a， √(1−a²)， 0）
→(OC)=（x， y， z）
各ベクトルの成分から
→(OA)・→(OC)=1*x+0*y+0*z=x
→(OA)・→(OB)=1*a+0*√(1−a²)+0*z=a
となりますので、よって
→(OA)・→(OC)=→(OA)・→(OB)
x=a ... ②
となります。

空欄（エ）（オ）

各ベクトルの成分から
→(OB)・→(OC)=a*x+√(1−a²)*y+0*z=ax+(√(1−a2))y
→(OA)・→(OB)=1*a+0*√(1−a²)+0*z=a
となりますので、よって
→(OB)・→(OC)=→(OA)・→(OB)
ax+(√(1−a²))y=a ... ③
となります。

空欄（ス）

②より
x=a
③より
y=(a(1-x))/√(1−a²)=(a(1-a))/√(1−a²)
①より
z²=1-x²-y²
=1-a²-(a²(1-a)²)/(1−a²)
=1-a²-(a²(1-a)²)/((1+a)(1-a))
=1-a²-(a²(1-a))/(1+a)
=((1-a²)(1+a)-a²(1-a))/(1+a)
=(1-a²+a-a³-a²+a³)/(1+a)
=(1+a-2a²)/(1+a)
=((1+２a)(1-a))/(1+a)
となります。

問題文にあるように、Z²≧0から
Z²=(2a+1)(1-a)/(1+a)≧0
また、-1<a<1から1+a>0なので、
(2a+1)(1-a)≧0
となります。
また、-1<a<1から1-a>0となり、
2a+1≧0
a≧-1/2
となります。
-1<a<1なので、最終的には、
-1/2≦a<1
となります。