大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問107 (数学Ⅱ・数学B（第7問） 問2)
問題文
α、β、γを異なる複素数とし、複素数平面上に3点A（α）、B（β）、C（γ）をとる。直線ABと直線ACの関係について考えよう。
以下、複素数の偏角は0以上2π未満とする。
（1）α＝3＋2i、β＝7，γ＝7＋10iの場合を考える。（γ−α）／（β−α）の偏角を求めよう。
γ−α＝（ ア ）＋（ イ ）i
β−α＝（ ウ ）−（ エ ）i
であるから
（γ−α）／（β−α）＝（ オ ）
であり、（ オ ）の偏角は（ カ ）である。
（ オ ）にあてはまるものを1つ選べ。
以下、複素数の偏角は0以上2π未満とする。
（1）α＝3＋2i、β＝7，γ＝7＋10iの場合を考える。（γ−α）／（β−α）の偏角を求めよう。
γ−α＝（ ア ）＋（ イ ）i
β−α＝（ ウ ）−（ エ ）i
であるから
（γ−α）／（β−α）＝（ オ ）
であり、（ オ ）の偏角は（ カ ）である。
（ オ ）にあてはまるものを1つ選べ。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）本試験 問107（数学Ⅱ・数学B（第7問） 問2） （訂正依頼・報告はこちら）
α、β、γを異なる複素数とし、複素数平面上に3点A（α）、B（β）、C（γ）をとる。直線ABと直線ACの関係について考えよう。
以下、複素数の偏角は0以上2π未満とする。
（1）α＝3＋2i、β＝7，γ＝7＋10iの場合を考える。（γ−α）／（β−α）の偏角を求めよう。
γ−α＝（ ア ）＋（ イ ）i
β−α＝（ ウ ）−（ エ ）i
であるから
（γ−α）／（β−α）＝（ オ ）
であり、（ オ ）の偏角は（ カ ）である。
（ オ ）にあてはまるものを1つ選べ。
以下、複素数の偏角は0以上2π未満とする。
（1）α＝3＋2i、β＝7，γ＝7＋10iの場合を考える。（γ−α）／（β−α）の偏角を求めよう。
γ−α＝（ ア ）＋（ イ ）i
β−α＝（ ウ ）−（ エ ）i
であるから
（γ−α）／（β−α）＝（ オ ）
であり、（ オ ）の偏角は（ カ ）である。
（ オ ）にあてはまるものを1つ選べ。
- i
- 1＋i
- 2
- 2i
- −i
- 1−i
- −2
- −2i
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この過去問の解説 （1件）
01
空欄（ア）〜（エ）
γ-α、β-αの値を使って、(γ-α)/(β-α)を求めます。
(γ-α)/(β-α)=(4+8i)/(4-2i)
=2(1+2i)/(2-i)
=(2(1+2i)(2+i))/((2-i)(2+i))
=(2(2+i+4i-2))/(4+1)
=(2✕5i)/5
=2i
複素数の計算は、数式のiが含まれた扱いづらい部分に対し、虚部の符号が反対の値(共役)をかけることで実数化して簡素にすることが重要です。
今回であれば、分母の(2-i)を実数化するために、分子分母に(2+i)をかけています。
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