大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問108 (数学Ⅱ・数学B（第7問） 問3)

設問（オ）での計算の結果、 
(γ - α)/(β - α) = 2i は実部が 0 の複素数で虚部が正ですから、複素平面上の虚軸上の正側に位置します。
つまり(γ - α)/(β - α)の偏角は π/2（90°）になります。
π/2 の選択肢が設問(カ)の解答です。

（オ）および（ア）～（エ）

式の途中で分子と分母に(2+i)を掛ける事で分母を実数だけにします。

その後、複素数の掛け算は、実数の式の展開と同じように行います。
(γ - α)/(β - α) = (4 + 8i)/(4 - 2i)
= (2+4i)/(2-i)
=2(1+2i)(2+i)/(2+i)(2-i)
=2{(2-2)+(1+4)i}/5
=(2・5i)/5=2i
よって、2i という選択肢が設問（オ）の解答になります。

複素数の足し算と引き算は、実部は実部同士、虚部は虚部同士で行います。
γ＝7＋10i, α＝3＋2i なので γ - α = (7 -3) +(10-2)i = 4 + 8i
β＝7, α＝3＋2i なので β - α = (7-3) -2i = 4 - 2i

解答はア：4　イ：8  ウ：4　エ：2 の選択肢となります。
（（エ）については問題文中で予めマイナスの符号がついており、絶対値だけを解答します。）

空欄（ア）〜（エ）

α=3+2i
β=7
γ=7+10i
を、γ-α、β-αへそれぞれ代入します。
γ-α=(7+10i)-(3+2i)=4+8i
β-α=7-(3+2i)=4-2i

空欄（オ）

γ-α、β-αの値を使って、(γ-α)/(β-α)を求めます。

(γ-α)/(β-α)=(4+8i)/(4-2i)
=2(1+2i)/(2-i)
=(2(1+2i)(2+i))/((2-i)(2+i))
=(2(2+i+4i-2))/(4+1)
=(2✕5i)/5
=2i

2iの偏角は、実部が0で虚部がプラスなので、π/2になります。
丁寧に解説しますと、偏角θは、z=x+yi、|z|=rとすると、
z=x+yi=2i → x=0, y=2
r=|z|=√(x²+y²)=2

cosθ=x/r=0
sinθ=y/r=1
以上から0≦θ<2πより、θ=π/2
となります。