共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）本試験
問109 (数学Ⅱ・数学B（第7問） 問4)
問題文
以下（ キ ）にあてはまるものを1つ選べ。
α、β、γを異なる複素数とし、複素数平面上に3点A（α）、B（β）、C（γ）をとる。直線ABと直線ACの関係について考えよう。
以下、複素数の偏角は0以上2π未満とする。
α、β、γを異なる複素数とし、複素数平面上に3点A（α）、B（β）、C（γ）をとる。直線ABと直線ACの関係について考えよう。
以下、複素数の偏角は0以上2π未満とする。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）本試験 問109（数学Ⅱ・数学B（第7問） 問4） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ キ ）にあてはまるものを1つ選べ。
α、β、γを異なる複素数とし、複素数平面上に3点A（α）、B（β）、C（γ）をとる。直線ABと直線ACの関係について考えよう。
以下、複素数の偏角は0以上2π未満とする。
α、β、γを異なる複素数とし、複素数平面上に3点A（α）、B（β）、C（γ）をとる。直線ABと直線ACの関係について考えよう。
以下、複素数の偏角は0以上2π未満とする。
- 0でない実数
- 1＋iまたは1−i
- 純虚数（実部が0である虚数）
- −1＋iまたは−1−i
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この過去問の解説 （2件）
01
wの偏角がπ/2または3π/2 であると問題文中にありますから、
w は複素数平面上の虚軸上にあり、実部は0の複素数となります。
そのような複素数を純虚数と呼びます。
「純虚数」の選択肢が設問（キ）の解答です。
下図は例えば 2i と -2i を複素数平面上に図示したものです。
選択肢中の説明にある「虚数」という語は、
複素数のうち特に実数ではないもの（虚部が0でない複素数）を指します。
偏角がπ/2または3π/2 である複素数は、実部が0である「純虚数」です。
また、2乗して -1 になる数である i は「虚数単位」と言います。
この設問では選択肢に純虚数とは「実部が0である虚数」という説明がありますが、
もし説明がなくても解答できるように用語を整理しておきましょう。
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02
偏角がπ/2、3π/2のとき、複素数は実部が0となるので、純虚数になります。
丁寧に解説しますと、ω=x+yi、|ω|=rとすると、
偏角θ=π/2, 3π/2のとき
cosθ(=x/r)=0 → x=0
sinθ(=y/r)=±1 → y=±r
ω=x+yi=±ri
となり、実部が0である純虚数となります。
複素数平面を思い浮かべ、値が実部のみ、または、虚部のみのときは、その符号から偏角がすぐに判断できると良いです。
0 → 実部のみ(符号は正)
π/2 → 虚部のみ(符号は正)
π → 実部のみ(符号は負)
3π/2 → 虚部のみ(符号は負)
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