大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問2 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問2)

余りが０という事は「割り切れる」という事です。
m < n に対し m/n が問われていますから（エ）は「有限小数」となります。

次に、整数同士の割り算、すなわち分子と分母が整数である分数は「有理数」です。
有理数は、割り切れない場合でも必ず循環小数になります。
そのため、
（オ）は余りに0が出てこない場合は「割り算を続けると必ず同じ余りが出てくる」、
（カ）はそのような小数を表す用語である「循環小数」が入ります。
それらの組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。

空欄（エ）
「余りに0が出てくる場合」とありますので、計算例1のような計算を考えると、そこで計算が終わることになります。
つまり、割り算の計算は割り切ることができ、有限となりますので、有限少数となります。
なお、m<n (自然数m、n)より0<m/n<1であることから、整数にはなりません。

空欄（オ）

「余りに0が出てこない場合」は、計算例1のような計算を考えると、k回目の割り算の余りは必ずnより小さい自然数となります。
つまり、割り算の余りのパターンは多くてもn-1個が最大であり、n回割り算を行えば、必ずその中に同じ余りが存在することがわかります。

空欄（カ）

空欄（オ）より、k回目の割り算でk'回目の割り算と同じ余りaが存在したとします（k'<k)。
そうすると、k回目以降の割り算の余りのパターンは、k'回目以降の割り算の余りのパターンと同じになることになります。
そしてそのまま計算すると、その後k+（k-k')回目で再び余りaになります。
つまり（k-k')の間隔を持つ循環となり、循環小数になることがわかります。