大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問2 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問2)
問題文
以下（ エ ），（ オ ），（ カ ）にあてはまるものを一つ選べ。
〔1〕分数を小数で表すときの仕組みについて考えよう。
例えば2／13は、計算例1のような割り算を行うと小数で表すことができる。この場合、1回目の割り算の余りは7で、2回目の割り算の余りは5である。
2／13以外の分数の場合も同様に、1回目の割り算の余り、2回目の割り算の余り、3回目の割り算の余り、・・・ということにする。
（2）m＜nである自然数m、nに対し、m／nを計算例のようにして小数で表すことを考える。mをnで割ったときの各回の割り算の余りに着目すると、余りに0が出てくる場合は、m／nは（ エ ）となる。余りに0が出てこない場合は（ オ ）から、m／nは（ カ ）となる。
〔1〕分数を小数で表すときの仕組みについて考えよう。
例えば2／13は、計算例1のような割り算を行うと小数で表すことができる。この場合、1回目の割り算の余りは7で、2回目の割り算の余りは5である。
2／13以外の分数の場合も同様に、1回目の割り算の余り、2回目の割り算の余り、3回目の割り算の余り、・・・ということにする。
（2）m＜nである自然数m、nに対し、m／nを計算例のようにして小数で表すことを考える。mをnで割ったときの各回の割り算の余りに着目すると、余りに0が出てくる場合は、m／nは（ エ ）となる。余りに0が出てこない場合は（ オ ）から、m／nは（ カ ）となる。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）追・試験 問2（数学Ⅰ・数学A（第1問） 問2） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ エ ），（ オ ），（ カ ）にあてはまるものを一つ選べ。
〔1〕分数を小数で表すときの仕組みについて考えよう。
例えば2／13は、計算例1のような割り算を行うと小数で表すことができる。この場合、1回目の割り算の余りは7で、2回目の割り算の余りは5である。
2／13以外の分数の場合も同様に、1回目の割り算の余り、2回目の割り算の余り、3回目の割り算の余り、・・・ということにする。
（2）m＜nである自然数m、nに対し、m／nを計算例のようにして小数で表すことを考える。mをnで割ったときの各回の割り算の余りに着目すると、余りに0が出てくる場合は、m／nは（ エ ）となる。余りに0が出てこない場合は（ オ ）から、m／nは（ カ ）となる。
〔1〕分数を小数で表すときの仕組みについて考えよう。
例えば2／13は、計算例1のような割り算を行うと小数で表すことができる。この場合、1回目の割り算の余りは7で、2回目の割り算の余りは5である。
2／13以外の分数の場合も同様に、1回目の割り算の余り、2回目の割り算の余り、3回目の割り算の余り、・・・ということにする。
（2）m＜nである自然数m、nに対し、m／nを計算例のようにして小数で表すことを考える。mをnで割ったときの各回の割り算の余りに着目すると、余りに0が出てくる場合は、m／nは（ エ ）となる。余りに0が出てこない場合は（ オ ）から、m／nは（ カ ）となる。
- エ：整数 オ：割り算を続けても同じ余りが出てくることはない カ：循環小数
- エ：有限小数 オ：割り算を続けても同じ余りが出てくることはない カ：循環しない無限小数
- エ：循環小数 オ：割り算を続けても同じ余りが出てくることはない カ：整数
- エ：循環しない無限小数 オ：割り算を続けても同じ余りが出てくることはない カ：有限小数
- エ：整数 オ：割り算を続けても同じ余りが出てくることはない カ：整数
- エ：有限小数 オ：割り算を続けると必ず同じ余りが出てくる カ：循環しない無限小数
- エ：循環小数 オ：割り算を続けると必ず同じ余りが出てくる カ：有限小数
- エ：循環しない無限小数 オ：割り算を続けると必ず同じ余りが出てくる カ：有限小数
- エ：整数 オ：割り算を続けると必ず同じ余りが出てくる カ：循環小数
- エ：有限小数 オ：割り算を続けると必ず同じ余りが出てくる カ：循環小数
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この過去問の解説 （1件）
01
空欄（エ）
「余りに0が出てくる場合」とありますので、計算例1のような計算を考えると、そこで計算が終わることになります。
つまり、割り算の計算は割り切ることができ、有限となりますので、有限少数となります。
なお、m<n (自然数m、n)より0<m/n<1であることから、整数にはなりません。
空欄（オ）
「余りに0が出てこない場合」は、計算例1のような計算を考えると、k回目の割り算の余りは必ずnより小さい自然数となります。
つまり、割り算の余りのパターンは多くてもn-1個が最大であり、n回割り算を行えば、必ずその中に同じ余りが存在することがわかります。
空欄（カ）
空欄（オ）より、k回目の割り算でk'回目の割り算と同じ余りaが存在したとします（k'<k)。
そうすると、k回目以降の割り算の余りのパターンは、k'回目以降の割り算の余りのパターンと同じになることになります。
そしてそのまま計算すると、その後k+（k-k')回目で再び余りaになります。
つまり（k-k')の間隔を持つ循環となり、循環小数になることがわかります。
知識として知っていなくても、計算例1の計算手順のイメージから導くことが可能です。
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