大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問5 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問5)

〔2〕以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて三角比の表と、平方根の表を用いてもよい。

水平な地面の上空を飛行機Pが飛んでおり、太郎さんはその地面上の点Oから飛行機Pを見ている。以下では、目の高さと飛行機Pの大きさは無視して考える。飛行機Pから地面に下ろした垂線と地面との交点をQとするとき、∠POQを飛行機Pを見上げる角といい、線分PQの長さを飛行機Pの高さという。飛行機Pは、高さと速さを一定に保ちながらまっすぐに飛んでいるものとする。
ある時刻に、飛行機Pを見上げる角が45°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をA、点Aから地面に下ろした垂線と地面との交点をBとする。また、その140秒後に、飛行機Pを見上げる角が30°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をC、点Cから地面に下ろした垂線と地面との交点をDとする。さらに、∠BOD＝150°であったとする。
飛行機Pが点Aから点Cまで線分AC上を飛ぶ間における、飛行機Pを見上げる角∠POQの大きさについて考察しよう。

（1）飛行機Pの高さをhとする。

（ⅰ）∠POQは

tan∠POQ＝（　ス　）

を満たす。また、AB＝CD＝hより

OB＝h，OD＝√（　セ　）h，BD＝√（　ソ　）h

および

cos∠OBD＝（　タ　）√（　チ　）／（　ツテ　）

である。

（　ス　）にあてはまるものを一つ選べ。