大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問6 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問6)
問題文
〔2〕以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて三角比の表と、平方根の表を用いてもよい。
水平な地面の上空を飛行機Pが飛んでおり、太郎さんはその地面上の点Oから飛行機Pを見ている。以下では、目の高さと飛行機Pの大きさは無視して考える。飛行機Pから地面に下ろした垂線と地面との交点をQとするとき、∠POQを飛行機Pを見上げる角といい、線分PQの長さを飛行機Pの高さという。飛行機Pは、高さと速さを一定に保ちながらまっすぐに飛んでいるものとする。
ある時刻に、飛行機Pを見上げる角が45°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をA、点Aから地面に下ろした垂線と地面との交点をBとする。また、その140秒後に、飛行機Pを見上げる角が30°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をC、点Cから地面に下ろした垂線と地面との交点をDとする。さらに、∠BOD＝150°であったとする。
飛行機Pが点Aから点Cまで線分AC上を飛ぶ間における、飛行機Pを見上げる角∠POQの大きさについて考察しよう。
（1）飛行機Pの高さをhとする。
（ⅰ）∠POQは
tan∠POQ＝（ ス ）
を満たす。また、AB＝CD＝hより
OB＝h，OD＝√（ セ ）h，BD＝√（ ソ ）h
および
cos∠OBD＝（ タ ）√（ チ ）／（ ツテ ）
である。
（ セ ），（ ソ ）にあてはまるものを一つ選べ。
水平な地面の上空を飛行機Pが飛んでおり、太郎さんはその地面上の点Oから飛行機Pを見ている。以下では、目の高さと飛行機Pの大きさは無視して考える。飛行機Pから地面に下ろした垂線と地面との交点をQとするとき、∠POQを飛行機Pを見上げる角といい、線分PQの長さを飛行機Pの高さという。飛行機Pは、高さと速さを一定に保ちながらまっすぐに飛んでいるものとする。
ある時刻に、飛行機Pを見上げる角が45°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をA、点Aから地面に下ろした垂線と地面との交点をBとする。また、その140秒後に、飛行機Pを見上げる角が30°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をC、点Cから地面に下ろした垂線と地面との交点をDとする。さらに、∠BOD＝150°であったとする。
飛行機Pが点Aから点Cまで線分AC上を飛ぶ間における、飛行機Pを見上げる角∠POQの大きさについて考察しよう。
（1）飛行機Pの高さをhとする。
（ⅰ）∠POQは
tan∠POQ＝（ ス ）
を満たす。また、AB＝CD＝hより
OB＝h，OD＝√（ セ ）h，BD＝√（ ソ ）h
および
cos∠OBD＝（ タ ）√（ チ ）／（ ツテ ）
である。
（ セ ），（ ソ ）にあてはまるものを一つ選べ。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）追・試験 問6（数学Ⅰ・数学A（第1問） 問6） （訂正依頼・報告はこちら）
〔2〕以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて三角比の表と、平方根の表を用いてもよい。
水平な地面の上空を飛行機Pが飛んでおり、太郎さんはその地面上の点Oから飛行機Pを見ている。以下では、目の高さと飛行機Pの大きさは無視して考える。飛行機Pから地面に下ろした垂線と地面との交点をQとするとき、∠POQを飛行機Pを見上げる角といい、線分PQの長さを飛行機Pの高さという。飛行機Pは、高さと速さを一定に保ちながらまっすぐに飛んでいるものとする。
ある時刻に、飛行機Pを見上げる角が45°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をA、点Aから地面に下ろした垂線と地面との交点をBとする。また、その140秒後に、飛行機Pを見上げる角が30°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をC、点Cから地面に下ろした垂線と地面との交点をDとする。さらに、∠BOD＝150°であったとする。
飛行機Pが点Aから点Cまで線分AC上を飛ぶ間における、飛行機Pを見上げる角∠POQの大きさについて考察しよう。
（1）飛行機Pの高さをhとする。
（ⅰ）∠POQは
tan∠POQ＝（ ス ）
を満たす。また、AB＝CD＝hより
OB＝h，OD＝√（ セ ）h，BD＝√（ ソ ）h
および
cos∠OBD＝（ タ ）√（ チ ）／（ ツテ ）
である。
（ セ ），（ ソ ）にあてはまるものを一つ選べ。
水平な地面の上空を飛行機Pが飛んでおり、太郎さんはその地面上の点Oから飛行機Pを見ている。以下では、目の高さと飛行機Pの大きさは無視して考える。飛行機Pから地面に下ろした垂線と地面との交点をQとするとき、∠POQを飛行機Pを見上げる角といい、線分PQの長さを飛行機Pの高さという。飛行機Pは、高さと速さを一定に保ちながらまっすぐに飛んでいるものとする。
ある時刻に、飛行機Pを見上げる角が45°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をA、点Aから地面に下ろした垂線と地面との交点をBとする。また、その140秒後に、飛行機Pを見上げる角が30°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をC、点Cから地面に下ろした垂線と地面との交点をDとする。さらに、∠BOD＝150°であったとする。
飛行機Pが点Aから点Cまで線分AC上を飛ぶ間における、飛行機Pを見上げる角∠POQの大きさについて考察しよう。
（1）飛行機Pの高さをhとする。
（ⅰ）∠POQは
tan∠POQ＝（ ス ）
を満たす。また、AB＝CD＝hより
OB＝h，OD＝√（ セ ）h，BD＝√（ ソ ）h
および
cos∠OBD＝（ タ ）√（ チ ）／（ ツテ ）
である。
（ セ ），（ ソ ）にあてはまるものを一つ選べ。
- セ：3 ソ：7
- セ：2 ソ：5
- セ：5 ソ：8
- セ：7 ソ：5
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この過去問の解説 （2件）
01
（※問題文と同様に、辺 PQ の長さを PQ と表します。）
まず∠COD = 30° であると問題文から読み取れます。
（「その140秒後に、飛行機Pを見上げる角が30°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をC・・・」）
30°, 60°, 90° の三角形の辺の比より
OD = (√3)・CD =(√3)h
本設問の前半の設問（セ）では平方根の中身だけを答えるので「３」が解答です。
次に、問題文によると ∠BOD = 150° であると述べられています。
（「点Cから地面に下ろした垂線と地面との交点をDとする。さらに、∠BOD＝150°であったとする。」）
また設問直前の問題文に直接書かれているように
OB =h です。
∠BOD = 150°
OB =h
OD = (√3)h により、
余弦定理を使えば BD の長さが分かる事になります。
余弦定理を使うと、
BD2 = OB2 + OD2 -2・ OB・OD・cos∠BOD
= h2+3h2-2・h・(√3)h・(-√3)/2
=4h2+3h2=7h2
よって、
BD2 = 7h2 により BD = (√7)h となります。
本設問の後半の設問（ソ）も平方根の中身だけを答えるので、「7」が解答です。
セ：3 ソ：7 の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
本設問の前半は、三平方の定理を使っても計算できます。
後半では余弦定理の計算で全ての項に h2 が掛けられている事が分かるので、
h2の係数だけ考えて
12+32-２・(√3)・(-√3)/2=4+3=7
その平方根で√7 という計算でも解答を得られます。
OB =h については設問にはなっていませんが、三角形AOB が 45°, 45°, 90° の二等辺三角形である事から OB= AB = h となります。
∠AOB = 45°である事は問題文に書かれています。（「ある時刻に、飛行機Pを見上げる角が45°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をA・・・」）
設問の前半で必要なものは基本的な角度の三角形の辺の比の知識です。
設問の後半では余弦定理が必要になります。
余弦定理は三角形ABC に対して BC2=AB2 +AC2 - 2AB・AC・cos∠BAC となります。
（余弦定理の特別な場合として、角度が90°の場合は三平方の定理となり、角度が180°の時はBC2 =(AB+AC)2となります。）
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02
△AOBは1つの角度が45°の直角三角形なので、辺の比は1:1:√(2)。よって、AB=hよりOB=h
△CODは1つの角度が30°の直角三角形なので、辺の比は1:2:√(3)。よって、CD=hよりOD=√(3)h
△BODの余弦定理
BD2=OB2+OD2-2OB・OD・cos∠BOD
より
BD2=(h)2+(√(3)h)2-2(h)(√(3)h)cos(150°)
=h2+3h2-2√(3)h2・(-√(3)/2)
=7h2
BD=√(7)h
余弦定理
c2=a2+b2-2ab・cosθ
を活用しましょう。
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