大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問7 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問7)
問題文
〔2〕以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて三角比の表と、平方根の表を用いてもよい。
水平な地面の上空を飛行機Pが飛んでおり、太郎さんはその地面上の点Oから飛行機Pを見ている。以下では、目の高さと飛行機Pの大きさは無視して考える。飛行機Pから地面に下ろした垂線と地面との交点をQとするとき、∠POQを飛行機Pを見上げる角といい、線分PQの長さを飛行機Pの高さという。飛行機Pは、高さと速さを一定に保ちながらまっすぐに飛んでいるものとする。
ある時刻に、飛行機Pを見上げる角が45°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をA、点Aから地面に下ろした垂線と地面との交点をBとする。また、その140秒後に、飛行機Pを見上げる角が30°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をC、点Cから地面に下ろした垂線と地面との交点をDとする。さらに、∠BOD＝150°であったとする。
飛行機Pが点Aから点Cまで線分AC上を飛ぶ間における、飛行機Pを見上げる角∠POQの大きさについて考察しよう。
（1）飛行機Pの高さをhとする。
（ⅰ）∠POQは
tan∠POQ＝（ ス ）
を満たす。また、AB＝CD＝hより
OB＝h，OD＝√（ セ ）h，BD＝√（ ソ ）h
および
cos∠OBD＝（ タ ）√（ チ ）／（ ツテ ）
である。
（ タ ），（ チ ），（ ツテ ）にあてはまるものを一つ選べ。
水平な地面の上空を飛行機Pが飛んでおり、太郎さんはその地面上の点Oから飛行機Pを見ている。以下では、目の高さと飛行機Pの大きさは無視して考える。飛行機Pから地面に下ろした垂線と地面との交点をQとするとき、∠POQを飛行機Pを見上げる角といい、線分PQの長さを飛行機Pの高さという。飛行機Pは、高さと速さを一定に保ちながらまっすぐに飛んでいるものとする。
ある時刻に、飛行機Pを見上げる角が45°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をA、点Aから地面に下ろした垂線と地面との交点をBとする。また、その140秒後に、飛行機Pを見上げる角が30°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をC、点Cから地面に下ろした垂線と地面との交点をDとする。さらに、∠BOD＝150°であったとする。
飛行機Pが点Aから点Cまで線分AC上を飛ぶ間における、飛行機Pを見上げる角∠POQの大きさについて考察しよう。
（1）飛行機Pの高さをhとする。
（ⅰ）∠POQは
tan∠POQ＝（ ス ）
を満たす。また、AB＝CD＝hより
OB＝h，OD＝√（ セ ）h，BD＝√（ ソ ）h
および
cos∠OBD＝（ タ ）√（ チ ）／（ ツテ ）
である。
（ タ ），（ チ ），（ ツテ ）にあてはまるものを一つ選べ。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）追・試験 問7（数学Ⅰ・数学A（第1問） 問7） （訂正依頼・報告はこちら）
〔2〕以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて三角比の表と、平方根の表を用いてもよい。
水平な地面の上空を飛行機Pが飛んでおり、太郎さんはその地面上の点Oから飛行機Pを見ている。以下では、目の高さと飛行機Pの大きさは無視して考える。飛行機Pから地面に下ろした垂線と地面との交点をQとするとき、∠POQを飛行機Pを見上げる角といい、線分PQの長さを飛行機Pの高さという。飛行機Pは、高さと速さを一定に保ちながらまっすぐに飛んでいるものとする。
ある時刻に、飛行機Pを見上げる角が45°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をA、点Aから地面に下ろした垂線と地面との交点をBとする。また、その140秒後に、飛行機Pを見上げる角が30°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をC、点Cから地面に下ろした垂線と地面との交点をDとする。さらに、∠BOD＝150°であったとする。
飛行機Pが点Aから点Cまで線分AC上を飛ぶ間における、飛行機Pを見上げる角∠POQの大きさについて考察しよう。
（1）飛行機Pの高さをhとする。
（ⅰ）∠POQは
tan∠POQ＝（ ス ）
を満たす。また、AB＝CD＝hより
OB＝h，OD＝√（ セ ）h，BD＝√（ ソ ）h
および
cos∠OBD＝（ タ ）√（ チ ）／（ ツテ ）
である。
（ タ ），（ チ ），（ ツテ ）にあてはまるものを一つ選べ。
水平な地面の上空を飛行機Pが飛んでおり、太郎さんはその地面上の点Oから飛行機Pを見ている。以下では、目の高さと飛行機Pの大きさは無視して考える。飛行機Pから地面に下ろした垂線と地面との交点をQとするとき、∠POQを飛行機Pを見上げる角といい、線分PQの長さを飛行機Pの高さという。飛行機Pは、高さと速さを一定に保ちながらまっすぐに飛んでいるものとする。
ある時刻に、飛行機Pを見上げる角が45°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をA、点Aから地面に下ろした垂線と地面との交点をBとする。また、その140秒後に、飛行機Pを見上げる角が30°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をC、点Cから地面に下ろした垂線と地面との交点をDとする。さらに、∠BOD＝150°であったとする。
飛行機Pが点Aから点Cまで線分AC上を飛ぶ間における、飛行機Pを見上げる角∠POQの大きさについて考察しよう。
（1）飛行機Pの高さをhとする。
（ⅰ）∠POQは
tan∠POQ＝（ ス ）
を満たす。また、AB＝CD＝hより
OB＝h，OD＝√（ セ ）h，BD＝√（ ソ ）h
および
cos∠OBD＝（ タ ）√（ チ ）／（ ツテ ）
である。
（ タ ），（ チ ），（ ツテ ）にあてはまるものを一つ選べ。
- タ：3 チ：5 ツテ：11
- タ：4 チ：8 ツテ：22
- タ：5 チ：7 ツテ：14
- タ：6 チ：5 ツテ：12
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この過去問の解説 （2件）
01
（※問題文と同様に、辺 PQ の長さを PQ と表します。）
前問（セ）（ソ）により△BOD の 3 つの辺の長さが分かったので、
再び余弦定理を使えば cos∠OBD を求められます。
OB =h
OD = (√3)h
BD = (√7)h です。
余弦定理により、
OD2=OB2+BD2-2・OB・BD・cos∠OBD
辺の長さを代入すると、
3h2 = h2 + 7h2 -2(√7)h2cos∠OBD
⇔cos∠OBD = 5/(2√7) =5(√7)/14
（タ）（チ）（ツテ）にそれぞれ5, 7, 14 が入る選択肢が本設問の解答となります。
設問（セ）（ソ）での計算
前問（セ）（ソ）と似た考え方で、
この設問では余弦定理の計算式の両辺の全ての項に h2 が掛けられている事が分かるので、
h2の係数だけで計算する事もできます。
また余弦定理を変形して、三角形の３辺が分かっている時に余弦だけを計算する式を最初から使う事もできます。
すなわちこの設問では初めから
cos∠OBD = (OB2+BD2-OD2)/(2・OB・BD)
= (h2 + 7h2-3h2)/(2h2√7)=5/(2√7) =5(√7)/14
としても計算できます。
この設問でも前問に引き続き余弦定理が必要になります。
前問（セ）（ソ）のまとめ
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02
空欄（セ）、（ソ）
△OBDの余弦定理
OD2=OB2+BD2-2OB・BD・cos∠OBD
より
cos∠OBD=(OB2+BD2-OD2)/(2OB・BD)
=((h)2+(√(7)h)2-(√(3)h)2)/(2(h)(√(7)h))
=(h2+7h2-3h2)/(2√(7)h2)
=5/(2√(7))
=5√(7)/14
余弦定理
c2=a2+b2-2ab・cosθ
を活用しましょう。
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