大学入学共通テスト（数学）過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問8 (数学Ⅰ・数学A（第1問）問8)

問題文

〔2〕以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて三角比の表と、平方根の表を用いてもよい。

水平な地面の上空を飛行機Pが飛んでおり、太郎さんはその地面上の点Oから飛行機Pを見ている。以下では、目の高さと飛行機Pの大きさは無視して考える。飛行機Pから地面に下ろした垂線と地面との交点をQとするとき、∠POQを飛行機Pを見上げる角といい、線分PQの長さを飛行機Pの高さという。飛行機Pは、高さと速さを一定に保ちながらまっすぐに飛んでいるものとする。
ある時刻に、飛行機Pを見上げる角が45°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をA、点Aから地面に下ろした垂線と地面との交点をBとする。また、その140秒後に、飛行機Pを見上げる角が30°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をC、点Cから地面に下ろした垂線と地面との交点をDとする。さらに、∠BOD＝150°であったとする。
飛行機Pが点Aから点Cまで線分AC上を飛ぶ間における、飛行機Pを見上げる角∠POQの大きさについて考察しよう。

（1）飛行機Pの高さをhとする。

（ⅱ）飛行機Pが点Aを通過してから70秒後の位置にあるとき

OQ＝h／（　ト　）

である。また、このときの∠POQの大きさは（　ナ　）である。

（　ト　）にあてはまるものを一つ選べ。問題文の画像

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問題

大学入学共通テスト（数学）試験令和7年度（2025年度）追・試験問8（数学Ⅰ・数学A（第1問）問8）（訂正依頼・報告はこちら）

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この過去問の解説（2件）

（※問題文と同様に、辺 PQ の長さを PQ と表します。）
問題文によると、「飛行機の速度は一定」で、AからCまで140秒であり、

ＡからPまで70秒（＝140/2秒）であるとされているのでAP=PC の場合を考えるという事になります。

問題文と図から、この時にBQ = QD でもあります。
設問（セ）（ソ）より BD =(√7) ですので、 BQ = (√7) /2
設問（タ）～（テ）より cos∠OBD = 5/(2√7) =5(√7)/14
問題文より OB = h です。

余弦定理を使うと
OQ² = (7/4)h² +h² -2・h{ (√7)h /2 }・{5/(2√7)}

= (7/4)h² +h²-(5/2)h²

=(1/4)h²
よって、OQ² = h²/4 により OQ = h/2
得られた結果の分母を答えるので、「2」の選択肢が設問（ト）の解答となります。

設問（セ）（ソ）

30°, 60°, 90° の三角形の辺の比より
OD = (√3)・CD =(√3)h

∠BOD = 150°
OB =h
OD = (√3)h により、
余弦定理を使えば BD の長さが分かる事になります。
余弦定理を使うと、
BD² = OB² + OD² -2・ OB・OD・cos∠BOD
= h²+3h²-2・h・(√3)h・(-√3)/2
=4h²+3h²=7h²
よって、
BD² = 7h² により BD = (√7)h となります。

設問（タ）～（テ）

OB =h
OD = (√3)h
BD = (√7)h です。
余弦定理により、
OD²=OB²+BD²-2・OB・BD・cos∠OBD
辺の長さを代入すると、
3h² = h² + 7h² -2(√7)h²cos∠OBD
⇔cos∠OBD = 5/(2√7) =5(√7)/14

選択肢1. 2

この設問ではcos∠OBDに値を代入する時、（タ）～（テ）に直接入る値である5(√7)/14よりも、
その１つ手前の計算結果である5/(2√7)を使ったほうが計算が少し楽になると思われます。

この設問でも設問（セ）（ソ）と同じく、
余弦定理の計算で全ての項に h² が掛けられているのでh²の係数だけ考えて計算する事もできます。

まとめ

この設問も設問（セ）（ソ）と前問（タ）（チ）（ツテ）に引き続き、余弦定理により解答が得られます。

計算が多少込み入りますが、問題文と選択肢から OQ の値が「1/1桁の整数」という分数の形になるはずだと分かるので、

もし計算ミスをしてしまった時にはミスに気付きやすい問題となっています。
この設問で余弦定理を適用後の式の整理の仕方は、１通りではありません。
少しでも計算しやすいと自分で感じる方法を選びましょう。

設問（セ）（ソ）のまとめ

余弦定理は三角形ABC に対して BC²=AB² +AC² - 2AB・AC・cos∠BAC となります。
（特別な場合として角度が90°の場合は三平方の定理となり、角度が180°の時はBC² =(AB+AC)²となります。）

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空欄（セ）、（ソ）

空欄（セ）、（ソ）の解説の画像へのリンク
△AOBは1つの角度が45°の直角三角形なので、辺の比は1:1:√(2)。よって、AB=hよりOB=h
△CODは1つの角度が30°の直角三角形なので、辺の比は1:2:√(3)。よって、CD=hよりOD=√(3)h
空欄（セ）、（ソ）の解説の画像へのリンク
△BODの余弦定理
BD²=OB²+OD²-2OB・OD・cos∠BOD
より
BD²=(h)²+(√(3)h)²-2(h)(√(3)h)cos(150°)
=h²+3h²-2√(3)h²・(-√(3)/2)
=7h²
BD=√(7)h

空欄（タ）〜（テ）

△OBDの余弦定理
OD²=OB²+BD²-2OB・BD・cos∠OBD
より
cos∠OBD=(OB²+BD^2-OD²)/(2OB・BD)
=((h)²+(√(7)h)²-(√(3)h)²)/(2(h)(√(7)h))
=(h²+7h²-3h²)/(2√(7)h²)
=5/(2√(7))
=5√(7)/14