大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問8 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問8)
問題文
〔2〕以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて三角比の表と、平方根の表を用いてもよい。
水平な地面の上空を飛行機Pが飛んでおり、太郎さんはその地面上の点Oから飛行機Pを見ている。以下では、目の高さと飛行機Pの大きさは無視して考える。飛行機Pから地面に下ろした垂線と地面との交点をQとするとき、∠POQを飛行機Pを見上げる角といい、線分PQの長さを飛行機Pの高さという。飛行機Pは、高さと速さを一定に保ちながらまっすぐに飛んでいるものとする。
ある時刻に、飛行機Pを見上げる角が45°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をA、点Aから地面に下ろした垂線と地面との交点をBとする。また、その140秒後に、飛行機Pを見上げる角が30°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をC、点Cから地面に下ろした垂線と地面との交点をDとする。さらに、∠BOD＝150°であったとする。
飛行機Pが点Aから点Cまで線分AC上を飛ぶ間における、飛行機Pを見上げる角∠POQの大きさについて考察しよう。
（1）飛行機Pの高さをhとする。
（ⅱ）飛行機Pが点Aを通過してから70秒後の位置にあるとき
OQ＝h／（ ト ）
である。また、このときの∠POQの大きさは（ ナ ）である。
（ ト ）にあてはまるものを一つ選べ。
水平な地面の上空を飛行機Pが飛んでおり、太郎さんはその地面上の点Oから飛行機Pを見ている。以下では、目の高さと飛行機Pの大きさは無視して考える。飛行機Pから地面に下ろした垂線と地面との交点をQとするとき、∠POQを飛行機Pを見上げる角といい、線分PQの長さを飛行機Pの高さという。飛行機Pは、高さと速さを一定に保ちながらまっすぐに飛んでいるものとする。
ある時刻に、飛行機Pを見上げる角が45°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をA、点Aから地面に下ろした垂線と地面との交点をBとする。また、その140秒後に、飛行機Pを見上げる角が30°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をC、点Cから地面に下ろした垂線と地面との交点をDとする。さらに、∠BOD＝150°であったとする。
飛行機Pが点Aから点Cまで線分AC上を飛ぶ間における、飛行機Pを見上げる角∠POQの大きさについて考察しよう。
（1）飛行機Pの高さをhとする。
（ⅱ）飛行機Pが点Aを通過してから70秒後の位置にあるとき
OQ＝h／（ ト ）
である。また、このときの∠POQの大きさは（ ナ ）である。
（ ト ）にあてはまるものを一つ選べ。
このページは閲覧用ページです。
履歴を残すには、 「新しく出題する（ここをクリック）」 をご利用ください。
問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）追・試験 問8（数学Ⅰ・数学A（第1問） 問8） （訂正依頼・報告はこちら）
〔2〕以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて三角比の表と、平方根の表を用いてもよい。
水平な地面の上空を飛行機Pが飛んでおり、太郎さんはその地面上の点Oから飛行機Pを見ている。以下では、目の高さと飛行機Pの大きさは無視して考える。飛行機Pから地面に下ろした垂線と地面との交点をQとするとき、∠POQを飛行機Pを見上げる角といい、線分PQの長さを飛行機Pの高さという。飛行機Pは、高さと速さを一定に保ちながらまっすぐに飛んでいるものとする。
ある時刻に、飛行機Pを見上げる角が45°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をA、点Aから地面に下ろした垂線と地面との交点をBとする。また、その140秒後に、飛行機Pを見上げる角が30°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をC、点Cから地面に下ろした垂線と地面との交点をDとする。さらに、∠BOD＝150°であったとする。
飛行機Pが点Aから点Cまで線分AC上を飛ぶ間における、飛行機Pを見上げる角∠POQの大きさについて考察しよう。
（1）飛行機Pの高さをhとする。
（ⅱ）飛行機Pが点Aを通過してから70秒後の位置にあるとき
OQ＝h／（ ト ）
である。また、このときの∠POQの大きさは（ ナ ）である。
（ ト ）にあてはまるものを一つ選べ。
水平な地面の上空を飛行機Pが飛んでおり、太郎さんはその地面上の点Oから飛行機Pを見ている。以下では、目の高さと飛行機Pの大きさは無視して考える。飛行機Pから地面に下ろした垂線と地面との交点をQとするとき、∠POQを飛行機Pを見上げる角といい、線分PQの長さを飛行機Pの高さという。飛行機Pは、高さと速さを一定に保ちながらまっすぐに飛んでいるものとする。
ある時刻に、飛行機Pを見上げる角が45°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をA、点Aから地面に下ろした垂線と地面との交点をBとする。また、その140秒後に、飛行機Pを見上げる角が30°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をC、点Cから地面に下ろした垂線と地面との交点をDとする。さらに、∠BOD＝150°であったとする。
飛行機Pが点Aから点Cまで線分AC上を飛ぶ間における、飛行機Pを見上げる角∠POQの大きさについて考察しよう。
（1）飛行機Pの高さをhとする。
（ⅱ）飛行機Pが点Aを通過してから70秒後の位置にあるとき
OQ＝h／（ ト ）
である。また、このときの∠POQの大きさは（ ナ ）である。
（ ト ）にあてはまるものを一つ選べ。
- 2
- 3
- 4
- 5
正解！素晴らしいです
残念...
この過去問の解説 （1件）
01
空欄（セ）、（ソ）
空欄（タ）〜（テ）
飛行機の速度は、
飛行機の速度=AC/ACにかかる時間=√(7)h/140
一方で、
飛行機の速度=AP/APにかかる時間=BQ/70
以上が等しいので、
√(7)h/140=BQ/70
BQ=√(7)h/2
となります。
△OBQの余弦定理
OQ2=OB2+BQ2-2OB・BQ・cos∠OBQ
より
OQ2=(h)2+(√(7)h/2)2-2(h)(√(7)h/2)(5/(2√(7)))
=h2+7h2/4-5h2/2
=h2/4
OQ=h/2
余弦定理
c2=a2+b2-2ab・cosθ
を活用しましょう。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
前の問題（問7）へ
令和7年度（2025年度）追・試験 問題一覧
次の問題（問9）へ