大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問9 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問9)

（※問題文と同様に、辺 PQ の長さを PQ と表します。）

設問（ト）によりOQ = (1/2)h
問題文よりPQ = h
よって、 tan∠POQ =2

問題文にある「必要に応じて使う三角比の表」を見ると正接は
63°で 1.9626 であり、
64°で 2.0503 となるので、
その間の角度に ∠POQ は存在する事になります。
選択肢を見ると正解となる角度の範囲はもう少し広く書かれていて、
「60°以上65°未満 」 の選択肢が設問（ナ）の解答となります。

設問（ト）

問題文によると、「飛行機の速度は一定」で、AからCまで140秒であり、

ＡからPまで70秒（＝140/2秒）であるとされているのでAP=PC の場合を考えるという事になります。

問題文と図から、この時にBQ = QD でもあります。
設問（セ）（ソ）より BD =(√7) ですので、 BQ = (√7) /2 
設問（タ）～（テ）より cos∠OBD = 5/(2√7) =5(√7)/14
問題文より OB = h です。

 

余弦定理を使うと
OQ² = (7/4)h² +h² -2・h{ (√7)h /2 }・{5/(2√7)}

= (7/4)h² +h²-(5/2)h²

=(1/4)h²
よって、OQ² = h²/4 により OQ = h/2

設問（セ）（ソ）

30°, 60°, 90° の三角形の辺の比より 
OD = (√3)・CD =(√3)h

∠BOD = 150°
OB =h
OD = (√3)h により、
余弦定理を使えば BD の長さが分かる事になります。
余弦定理を使うと、
BD² = OB² + OD² -2・ OB・OD・cos∠BOD

= h²+3h²-2・h・(√3)h・(-√3)/2

=4h²+3h²=7h²
よって、
BD² = 7h² により BD = (√7)h となります。

設問（タ）～（テ）

OB =h

OD = (√3)h

BD = (√7)h です。
余弦定理により、
OD²=OB²+BD²-2・OB・BD・cos∠OBD
辺の長さを代入すると、
3h² = h² + 7h² -2(√7)h²cos∠OBD
⇔cos∠OBD = 5/(2√7) =5(√7)/14

空欄（セ）、（ソ）

空欄（セ）、（ソ）の解説の画像へのリンク

△AOBは1つの角度が45°の直角三角形なので、辺の比は1:1:√(2)。よって、AB=hよりOB=h
△CODは1つの角度が30°の直角三角形なので、辺の比は1:2:√(3)。よって、CD=hよりOD=√(3)h

空欄（セ）、（ソ）の解説の画像へのリンク

△BODの余弦定理

BD²=OB²+OD²-2OB・OD・cos∠BOD

より

BD²=(h)²+(√(3)h)²-2(h)(√(3)h)cos(150°)
=h²+3h²-2√(3)h²・(-√(3)/2)

=7h²

BD=√(7)h

空欄（タ）〜（テ）

空欄（タ）〜（テ）の解説の画像へのリンク

△OBDの余弦定理

OD²=OB²+BD²-2OB・BD・cos∠OBD

より
cos∠OBD=(OB²+BD^2-OD²)/(2OB・BD)
=((h)²+(√(7)h)²-(√(3)h)²)/(2(h)(√(7)h))

=(h²+7h²-3h²)/(2√(7)h²)

=5/(2√(7))
=5√(7)/14

空欄（ト）

飛行機の速度は、
飛行機の速度=AC/ACにかかる時間=√(7)h/140

一方で、
飛行機の速度=AP/APにかかる時間=BQ/70

以上が等しいので、

√(7)h/140=BQ/70

BQ=√(7)h/2

となります。
△OBQの余弦定理

OQ²=OB²+BQ²-2OB・BQ・cos∠OBQ

より
OQ²=(h)²+(√(7)h/2)²-2(h)(√(7)h/2)(5/(2√(7)))
=h²+7h²/4-5h²/2
=h²/4
OQ=h/2

△POQより

tan∠POQ=PQ/OQ=2
三角比の表を見ると
tan63°=1.9626 < tan∠POQ=2 < tan64°=2.0503
なのがわかります。