大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問10 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問10)

（※問題文と同様に、辺 PQ の長さを PQ と表します。）
tan∠POQ =h/OQ ですから、OQ が最小の時にtan∠POQ は最大となり、∠POQ も最大になります。

OQ が最小になるのは、辺OQと辺BDが垂直である時です。これが設問（ニ）の解答です。
（辺OQと辺BDが垂直となる位置からQを少しでも動かすと　OQ は最小値よりも大きくなります。）

次に、
設問（タ）（チ）（ツテ）より

cos∠OBD = 5/(2√7) （=5(√7)/14） であると分かっています。
辺OQと辺BDが垂直であるなら
BQ = OB・cos∠OBD = h・cos∠OBD = 5h/(2√7)  

設問（ソ）より、BD =(√7) h なので、
BQ/BD=5/{(2√7) ・ (√7)} =5/14

問題文より「飛行機」は一定の速度でAからCまで140秒かかり、
四角形ABCD は長方形なので AC = BD であり、BからDまでかかる時間と考えても同じです。
同様にAQ =BQ なので BQ/BD = AQ/AC
よって、「飛行機」はAからP まで 140・(5/14)=50 秒かかる事になります。

点Qが「点Oから線分BDに下ろした垂線と線分BDとの交点」である時に「50」秒かかるという組み合わせが設問（ニ）（ヌネ）の解答となります。

設問（タ）～（テ）

OB =h

OD = (√3)h

BD = (√7)h です。
余弦定理により、
OD²=OB²+BD²-2・OB・BD・cos∠OBD
辺の長さを代入すると、
3h² = h² + 7h² -2(√7)h²cos∠OBD
⇔cos∠OBD = 5/(2√7) =5(√7)/14

設問（セ）（ソ）

30°, 60°, 90° の三角形の辺の比より 
OD = (√3)・CD =(√3)h

∠BOD = 150°
OB =h
OD = (√3)h により、
余弦定理を使えば BD の長さが分かる事になります。
余弦定理を使うと、
BD² = OB² + OD² -2・ OB・OD・cos∠BOD

= h²+3h²-2・h・(√3)h・(-√3)/2

=4h²+3h²=7h²
よって、
BD² = 7h² により BD = (√7)h となります。

空欄（ス）

△POQについて考えます。PQ=hより、
tan∠POQ=PQ/OQ=h/OQ
となります。

今、hは一定なので、tan∠POQが最大となるのは、OQが最小となるとき。
つまり、点Qが、点Oから線分BDに下ろした垂線と線分BDとの交点となるときです。

空欄（セ）、（ソ）

空欄（セ）、（ソ）の解説の画像へのリンク

△AOBは1つの角度が45°の直角三角形なので、辺の比は1:1:√(2)。よって、AB=hよりOB=h
△CODは1つの角度が30°の直角三角形なので、辺の比は1:2:√(3)。よって、CD=hよりOD=√(3)h

空欄（セ）、（ソ）の解説の画像へのリンク

△BODの余弦定理

BD²=OB²+OD²-2OB・OD・cos∠BOD

より

BD²=(h)²+(√(3)h)²-2(h)(√(3)h)cos(150°)
=h²+3h²-2√(3)h²・(-√(3)/2)

=7h²

BD=√(7)h

空欄（タ）〜（テ）

空欄（タ）〜（テ）の解説の画像へのリンク

△OBDの余弦定理

OD²=OB²+BD²-2OB・BD・cos∠OBD

より
cos∠OBD=(OB²+BD^2-OD²)/(2OB・BD)
=((h)²+(√(7)h)²-(√(3)h)²)/(2(h)(√(7)h))

=(h²+7h²-3h²)/(2√(7)h²)

=5/(2√(7))
=5√(7)/14

今、∠OQBは直角なので、
BQ=OB・cos∠OBQ=h・（5√(7)/14）=5√(7)h/14
となります。t秒後だとすると、飛行機の速度は
飛行機の速度=AC/ACにかかる時間=√(7)h/140

一方で、
飛行機の速度=AP/APにかかる時間=BQ/t

以上が等しいので、

√(7)h/140=BQ/t
t=BQ・140/(√(7)h)
=(5√(7)h/14)・140/(√(7)h)
=50