大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問10 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問10)
問題文
〔2〕以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて三角比の表と、平方根の表を用いてもよい。
水平な地面の上空を飛行機Pが飛んでおり、太郎さんはその地面上の点Oから飛行機Pを見ている。以下では、目の高さと飛行機Pの大きさは無視して考える。飛行機Pから地面に下ろした垂線と地面との交点をQとするとき、∠POQを飛行機Pを見上げる角といい、線分PQの長さを飛行機Pの高さという。飛行機Pは、高さと速さを一定に保ちながらまっすぐに飛んでいるものとする。
ある時刻に、飛行機Pを見上げる角が45°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をA、点Aから地面に下ろした垂線と地面との交点をBとする。また、その140秒後に、飛行機Pを見上げる角が30°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をC、点Cから地面に下ろした垂線と地面との交点をDとする。さらに、∠BOD＝150°であったとする。
飛行機Pが点Aから点Cまで線分AC上を飛ぶ間における、飛行機Pを見上げる角∠POQの大きさについて考察しよう。
（2）太郎さんは、飛行機Pが点Aを通過してから何秒後に∠POQの大きさが最大になるかを、∠POQの大きさと線分OQの長さの関係に着目して考えている。
∠POQの大きさが最大になるのは、点Qが（ ニ ）のときであり、飛行機Pが点Aを通過してから（ ヌネ ）秒後である。また、このときの∠POQの大きさは（ ノ ）である。
（ ニ ），（ ヌネ ）にあてはまるものを一つ選べ。
水平な地面の上空を飛行機Pが飛んでおり、太郎さんはその地面上の点Oから飛行機Pを見ている。以下では、目の高さと飛行機Pの大きさは無視して考える。飛行機Pから地面に下ろした垂線と地面との交点をQとするとき、∠POQを飛行機Pを見上げる角といい、線分PQの長さを飛行機Pの高さという。飛行機Pは、高さと速さを一定に保ちながらまっすぐに飛んでいるものとする。
ある時刻に、飛行機Pを見上げる角が45°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をA、点Aから地面に下ろした垂線と地面との交点をBとする。また、その140秒後に、飛行機Pを見上げる角が30°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をC、点Cから地面に下ろした垂線と地面との交点をDとする。さらに、∠BOD＝150°であったとする。
飛行機Pが点Aから点Cまで線分AC上を飛ぶ間における、飛行機Pを見上げる角∠POQの大きさについて考察しよう。
（2）太郎さんは、飛行機Pが点Aを通過してから何秒後に∠POQの大きさが最大になるかを、∠POQの大きさと線分OQの長さの関係に着目して考えている。
∠POQの大きさが最大になるのは、点Qが（ ニ ）のときであり、飛行機Pが点Aを通過してから（ ヌネ ）秒後である。また、このときの∠POQの大きさは（ ノ ）である。
（ ニ ），（ ヌネ ）にあてはまるものを一つ選べ。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）追・試験 問10（数学Ⅰ・数学A（第1問） 問10） （訂正依頼・報告はこちら）
〔2〕以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて三角比の表と、平方根の表を用いてもよい。
水平な地面の上空を飛行機Pが飛んでおり、太郎さんはその地面上の点Oから飛行機Pを見ている。以下では、目の高さと飛行機Pの大きさは無視して考える。飛行機Pから地面に下ろした垂線と地面との交点をQとするとき、∠POQを飛行機Pを見上げる角といい、線分PQの長さを飛行機Pの高さという。飛行機Pは、高さと速さを一定に保ちながらまっすぐに飛んでいるものとする。
ある時刻に、飛行機Pを見上げる角が45°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をA、点Aから地面に下ろした垂線と地面との交点をBとする。また、その140秒後に、飛行機Pを見上げる角が30°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をC、点Cから地面に下ろした垂線と地面との交点をDとする。さらに、∠BOD＝150°であったとする。
飛行機Pが点Aから点Cまで線分AC上を飛ぶ間における、飛行機Pを見上げる角∠POQの大きさについて考察しよう。
（2）太郎さんは、飛行機Pが点Aを通過してから何秒後に∠POQの大きさが最大になるかを、∠POQの大きさと線分OQの長さの関係に着目して考えている。
∠POQの大きさが最大になるのは、点Qが（ ニ ）のときであり、飛行機Pが点Aを通過してから（ ヌネ ）秒後である。また、このときの∠POQの大きさは（ ノ ）である。
（ ニ ），（ ヌネ ）にあてはまるものを一つ選べ。
水平な地面の上空を飛行機Pが飛んでおり、太郎さんはその地面上の点Oから飛行機Pを見ている。以下では、目の高さと飛行機Pの大きさは無視して考える。飛行機Pから地面に下ろした垂線と地面との交点をQとするとき、∠POQを飛行機Pを見上げる角といい、線分PQの長さを飛行機Pの高さという。飛行機Pは、高さと速さを一定に保ちながらまっすぐに飛んでいるものとする。
ある時刻に、飛行機Pを見上げる角が45°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をA、点Aから地面に下ろした垂線と地面との交点をBとする。また、その140秒後に、飛行機Pを見上げる角が30°であったとし、そのときの飛行機Pの位置をC、点Cから地面に下ろした垂線と地面との交点をDとする。さらに、∠BOD＝150°であったとする。
飛行機Pが点Aから点Cまで線分AC上を飛ぶ間における、飛行機Pを見上げる角∠POQの大きさについて考察しよう。
（2）太郎さんは、飛行機Pが点Aを通過してから何秒後に∠POQの大きさが最大になるかを、∠POQの大きさと線分OQの長さの関係に着目して考えている。
∠POQの大きさが最大になるのは、点Qが（ ニ ）のときであり、飛行機Pが点Aを通過してから（ ヌネ ）秒後である。また、このときの∠POQの大きさは（ ノ ）である。
（ ニ ），（ ヌネ ）にあてはまるものを一つ選べ。
- ニ：線分BDの中点 ヌネ：35
- ニ：線分BDの中点 ヌネ：50
- ニ：∠BODの二等分線と線分BDとの交点 ヌネ：35
- ニ：∠BODの二等分線と線分BDとの交点 ヌネ：50
- ニ：点Oから線分BDに下ろした垂線と線分BDとの交点 ヌネ：35
- ニ：点Oから線分BDに下ろした垂線と線分BDとの交点 ヌネ：50
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この過去問の解説 （1件）
01
空欄（ス）
今、hは一定なので、tan∠POQが最大となるのは、OQが最小となるとき。
つまり、点Qが、点Oから線分BDに下ろした垂線と線分BDとの交点となるときです。
空欄（セ）、（ソ）
空欄（タ）〜（テ）
今、∠OQBは直角なので、
BQ=OB・cos∠OBQ=h・（5√(7)/14）=5√(7)h/14
となります。t秒後だとすると、飛行機の速度は
飛行機の速度=AC/ACにかかる時間=√(7)h/140
一方で、
飛行機の速度=AP/APにかかる時間=BQ/t
以上が等しいので、
√(7)h/140=BQ/t
t=BQ・140/(√(7)h)
=(5√(7)h/14)・140/(√(7)h)
=50
OQの条件に気がつくことが大切です。
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