大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問11 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問11)

（※問題文と同様に、辺 PQ の長さを PQ と表します。）
設問（ニ）の条件、すなわち辺OQと辺BDが垂直になる条件で考えます。

設問（タ）（チ）（ツテ）よりcos∠OBD = 5/(2√7) なので、
sin²∠OBD = 1 - {5/(2√7)}²=1-25/28=3/28 であり、
sin∠OBD = √(3/28) 

よって、OQ = h・sin∠OBD =h √(3/28) （ =(h√21)/14 ）
したがって tan∠POQ =h/{h √(3/28)} =√(28/3)=√(9.333・・・)
問題文の「平方根の表」を見ると、その値は３以上3.1623未満だと分かります。
 

次に「三角比の表」を見ると、正接は71°以上73°未満の時に３以上3.1623未満となる事が分かります。
 

選択肢を見ると「70°以上75°未満」というものがあり、それが設問（ノ）の解答となります。

設問（ニ）

tan∠POQ =h/OQ ですから、OQ が最小の時にtan∠POQ は最大となり、∠POQ も最大になります。

OQ が最小になるのは、辺OQと辺BDが垂直である時です。これが設問（ニ）の解答です。
（辺OQと辺BDが垂直となる位置からQを少しでも動かすと　OQ は最小値よりも大きくなります。）

設問（タ）～（テ）

OB =h

OD = (√3)h

BD = (√7)h です。
余弦定理により、
OD²=OB²+BD²-2・OB・BD・cos∠OBD
辺の長さを代入すると、
3h² = h² + 7h² -2(√7)h²cos∠OBD
⇔cos∠OBD = 5/(2√7) =5(√7)/14

設問（セ）（ソ）

30°, 60°, 90° の三角形の辺の比より 
OD = (√3)・CD =(√3)h

∠BOD = 150°
OB =h
OD = (√3)h により、
余弦定理を使えば BD の長さが分かる事になります。
余弦定理を使うと、
BD² = OB² + OD² -2・ OB・OD・cos∠BOD

= h²+3h²-2・h・(√3)h・(-√3)/2

=4h²+3h²=7h²
よって、
BD² = 7h² により BD = (√7)h となります。

空欄（セ）、（ソ）

空欄（セ）、（ソ）の解説の画像へのリンク

△AOBは1つの角度が45°の直角三角形なので、辺の比は1:1:√(2)。よって、AB=hよりOB=h
△CODは1つの角度が30°の直角三角形なので、辺の比は1:2:√(3)。よって、CD=hよりOD=√(3)h

空欄（セ）、（ソ）の解説の画像へのリンク

△BODの余弦定理

BD²=OB²+OD²-2OB・OD・cos∠BOD

より

BD²=(h)²+(√(3)h)²-2(h)(√(3)h)cos(150°)
=h²+3h²-2√(3)h²・(-√(3)/2)

=7h²

BD=√(7)h

空欄（タ）〜（テ）

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△OBDの余弦定理

OD²=OB²+BD²-2OB・BD・cos∠OBD

より
cos∠OBD=(OB²+BD^2-OD²)/(2OB・BD)
=((h)²+(√(7)h)²-(√(3)h)²)/(2(h)(√(7)h))

=(h²+7h²-3h²)/(2√(7)h²)

=5/(2√(7))
=5√(7)/14

△OBQにおいて、
(sin∠OBD)²+(cos∠OBD)²=1
sin∠OBD=OQ/h

cos∠OBD=5/(2√(7))
より、
(OQ/h)²+(5/(2√(7)))²=1

OQ²=(1-25/28)h²=3h²/28
OQ=√(3)h/(2√(7))=√(21)h/14
tan∠POQ=h/(√(21)h/14)=14/√(21)

平方根の表より
tan∠POQ=14/4.5826=3.0550...
また、三角比の表より
tan71°=2.9042 < tan∠POQ=3.0550 < tan72°=3.0777