大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問13 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問2)
問題文
〔1〕花子さんと太郎さんは、コンピュータを使って、関数y＝ax2＋bx＋cのグラフを表示させている。
（2）花子さんと太郎さんは、a＝2、b＝−7、c＝7と定めたとき、関数y＝2x2−7x＋7のグラフが、点P（1，2）と点Q（3，4）を通ることに気づいて、コンピュータの画面を見ながら、次のように話している。
花子：このグラフは点P（1，2），Q（3，4）を通っているね。
太郎：aの値を変えるとグラフはどうなるのかな。
花子：aの値だけを変えたら、P，Qを通らなくなったよ。P，Qを通るようにするには、aの値に応じてbとcの値をどう変えたらよいのかな。
0でない実数aに対して
b＝（ オ ）―（ カ ）a
c＝（ キ ）＋（ ク ）a
とすれば、関数
y＝ax2＋（［ オ ］―［ カ ］a）x＋（ キ ）＋（ ク ）a・・・①
のグラフは2点PとQを通る。
（ オ ），（ カ ），（ キ ），（ ク ）にあてはまるものを一つ選べ。
（2）花子さんと太郎さんは、a＝2、b＝−7、c＝7と定めたとき、関数y＝2x2−7x＋7のグラフが、点P（1，2）と点Q（3，4）を通ることに気づいて、コンピュータの画面を見ながら、次のように話している。
花子：このグラフは点P（1，2），Q（3，4）を通っているね。
太郎：aの値を変えるとグラフはどうなるのかな。
花子：aの値だけを変えたら、P，Qを通らなくなったよ。P，Qを通るようにするには、aの値に応じてbとcの値をどう変えたらよいのかな。
0でない実数aに対して
b＝（ オ ）―（ カ ）a
c＝（ キ ）＋（ ク ）a
とすれば、関数
y＝ax2＋（［ オ ］―［ カ ］a）x＋（ キ ）＋（ ク ）a・・・①
のグラフは2点PとQを通る。
（ オ ），（ カ ），（ キ ），（ ク ）にあてはまるものを一つ選べ。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）追・試験 問13（数学Ⅰ・数学A（第2問） 問2） （訂正依頼・報告はこちら）
〔1〕花子さんと太郎さんは、コンピュータを使って、関数y＝ax2＋bx＋cのグラフを表示させている。
（2）花子さんと太郎さんは、a＝2、b＝−7、c＝7と定めたとき、関数y＝2x2−7x＋7のグラフが、点P（1，2）と点Q（3，4）を通ることに気づいて、コンピュータの画面を見ながら、次のように話している。
花子：このグラフは点P（1，2），Q（3，4）を通っているね。
太郎：aの値を変えるとグラフはどうなるのかな。
花子：aの値だけを変えたら、P，Qを通らなくなったよ。P，Qを通るようにするには、aの値に応じてbとcの値をどう変えたらよいのかな。
0でない実数aに対して
b＝（ オ ）―（ カ ）a
c＝（ キ ）＋（ ク ）a
とすれば、関数
y＝ax2＋（［ オ ］―［ カ ］a）x＋（ キ ）＋（ ク ）a・・・①
のグラフは2点PとQを通る。
（ オ ），（ カ ），（ キ ），（ ク ）にあてはまるものを一つ選べ。
（2）花子さんと太郎さんは、a＝2、b＝−7、c＝7と定めたとき、関数y＝2x2−7x＋7のグラフが、点P（1，2）と点Q（3，4）を通ることに気づいて、コンピュータの画面を見ながら、次のように話している。
花子：このグラフは点P（1，2），Q（3，4）を通っているね。
太郎：aの値を変えるとグラフはどうなるのかな。
花子：aの値だけを変えたら、P，Qを通らなくなったよ。P，Qを通るようにするには、aの値に応じてbとcの値をどう変えたらよいのかな。
0でない実数aに対して
b＝（ オ ）―（ カ ）a
c＝（ キ ）＋（ ク ）a
とすれば、関数
y＝ax2＋（［ オ ］―［ カ ］a）x＋（ キ ）＋（ ク ）a・・・①
のグラフは2点PとQを通る。
（ オ ），（ カ ），（ キ ），（ ク ）にあてはまるものを一つ選べ。
- オ：2 カ：3 キ：2 ク：4
- オ：1 カ：4 キ：1 ク：3
- オ：3 カ：2 キ：3 ク：2
- オ：4 カ：3 キ：4 ク：3
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この過去問の解説 （2件）
01
問題文および設問の空欄を見ると、b と c を a で表す問題になっています。
a, b, c の値が不明である条件のもと、
（1，2）および（3，4）の座標の値を２次式に代入すると
2 = a + b + c
4 = 9a + 3b + c
これら２つの式は b と c に関する連立１次方程式になっています。
第２式の両辺から第１式の両辺を引くと、
2 = 8a +2b ⇔ b= 1-4a
この b の値を第１式に代入すると
2 = a+ 1 -4a +c ⇔ c= 1+3a
よって、オ：1 カ： 4 キ1 ク：3 の組み合わせが設問（オ）（カ）（キ）（ク）の解答となります。
（1，2）を通るという事は式 2 = a・12 +b・1 + c が成立するという事であり、
（3，4）を通るという事は式 4 = a・32 +b・3 + c が成立するという事です。
それら２式から a だけを残して b, c について解き、b と c を a で表せる事が分かります。
設問（カ）は問題文の a の係数にマイナスが付いていて、絶対値だけを答えるので「4」になります。
一見分かりにくい問題かもしれません。
２つの定点を通るという事は、式で表すとどういう事かを考えると計算を進める事ができます。
設問の空欄を見ると b と c を「a を使って表す」ものになっている事もヒントになります。
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02
y=ax2+bx+c
に点P（1，2）， Q（3，4）を代入して、b, cをaで表す形で求めます。
点P（1，2）より 2=a+b+c ... (1-1)
点Q（3，4）より 4=9a+3b+c ... (1-2)
(1-2)-(1-1)より
2=8a+b
b=1-4a
3✕(1-1)-(1-2)より
2=-6a+2c
c=1+3a
連立方程式は素早く計算してしまいましょう。
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