大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問14 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問3)
問題文
〔1〕花子さんと太郎さんは、コンピュータを使って、関数y＝ax2＋bx＋cのグラフを表示させている。
（2）花子さんと太郎さんは、a＝2、b＝−7、c＝7と定めたとき、関数y＝2x2−7x＋7のグラフが、点P（1，2）と点Q（3，4）を通ることに気づいて、コンピュータの画面を見ながら、次のように話している。
花子：このグラフは点P（1，2），Q（3，4）を通っているね。
太郎：aの値を変えるとグラフはどうなるのかな。
花子：aの値だけを変えたら、P，Qを通らなくなったよ。P，Qを通るようにするには、aの値に応じてbとcの値をどう変えたらよいのかな。
0でない実数aに対して
b＝（ オ ）―（ カ ）a
c＝（ キ ）＋（ ク ）a
とすれば、関数
y＝ax2＋（［ オ ］―［ カ ］a）x＋（ キ ）＋（ ク ）a・・・①
のグラフは2点PとQを通る。
（3）太郎さんと花子さんは、aの値を0より大きい範囲で変えながら、関数①のグラフを表示させて、頂点のy座標について考えている。
太郎：aの値をより大きい範囲で変えながら、関数①のグラフの頂点を考えてみようよ。
花子：グラフの頂点のy座標が最大になるような関数はどのようなものなのかな。
太郎：グラフの頂点の座標をaの式で表して考えるのは、私たちには難しそうだね。別のやり方はないかな。
花子：グラフを表示してみたら、2点P（1，2），Q（3，4）とグラフの頂点との関係がわかるね。
太郎：どのaに対しても、関数①のグラフは必ずPとQを通るね。
花子：しかもaが正の実数だから、関数①のグラフは下に凸で、頂点はグラフの一番下になるね。
太郎：そう考えると、頂点のy座標が最大になるようなグラフが予想できるね。
グラフの頂点のy座標の最大値は（ ケ ）であり、頂点のy座標が最大に
なるaの値は（ コ ）／（ サ ）である。
（ ケ ）にあてはまるものを一つ選べ。
（2）花子さんと太郎さんは、a＝2、b＝−7、c＝7と定めたとき、関数y＝2x2−7x＋7のグラフが、点P（1，2）と点Q（3，4）を通ることに気づいて、コンピュータの画面を見ながら、次のように話している。
花子：このグラフは点P（1，2），Q（3，4）を通っているね。
太郎：aの値を変えるとグラフはどうなるのかな。
花子：aの値だけを変えたら、P，Qを通らなくなったよ。P，Qを通るようにするには、aの値に応じてbとcの値をどう変えたらよいのかな。
0でない実数aに対して
b＝（ オ ）―（ カ ）a
c＝（ キ ）＋（ ク ）a
とすれば、関数
y＝ax2＋（［ オ ］―［ カ ］a）x＋（ キ ）＋（ ク ）a・・・①
のグラフは2点PとQを通る。
（3）太郎さんと花子さんは、aの値を0より大きい範囲で変えながら、関数①のグラフを表示させて、頂点のy座標について考えている。
太郎：aの値をより大きい範囲で変えながら、関数①のグラフの頂点を考えてみようよ。
花子：グラフの頂点のy座標が最大になるような関数はどのようなものなのかな。
太郎：グラフの頂点の座標をaの式で表して考えるのは、私たちには難しそうだね。別のやり方はないかな。
花子：グラフを表示してみたら、2点P（1，2），Q（3，4）とグラフの頂点との関係がわかるね。
太郎：どのaに対しても、関数①のグラフは必ずPとQを通るね。
花子：しかもaが正の実数だから、関数①のグラフは下に凸で、頂点はグラフの一番下になるね。
太郎：そう考えると、頂点のy座標が最大になるようなグラフが予想できるね。
グラフの頂点のy座標の最大値は（ ケ ）であり、頂点のy座標が最大に
なるaの値は（ コ ）／（ サ ）である。
（ ケ ）にあてはまるものを一つ選べ。
このページは閲覧用ページです。
履歴を残すには、 「新しく出題する（ここをクリック）」 をご利用ください。
問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）追・試験 問14（数学Ⅰ・数学A（第2問） 問3） （訂正依頼・報告はこちら）
〔1〕花子さんと太郎さんは、コンピュータを使って、関数y＝ax2＋bx＋cのグラフを表示させている。
（2）花子さんと太郎さんは、a＝2、b＝−7、c＝7と定めたとき、関数y＝2x2−7x＋7のグラフが、点P（1，2）と点Q（3，4）を通ることに気づいて、コンピュータの画面を見ながら、次のように話している。
花子：このグラフは点P（1，2），Q（3，4）を通っているね。
太郎：aの値を変えるとグラフはどうなるのかな。
花子：aの値だけを変えたら、P，Qを通らなくなったよ。P，Qを通るようにするには、aの値に応じてbとcの値をどう変えたらよいのかな。
0でない実数aに対して
b＝（ オ ）―（ カ ）a
c＝（ キ ）＋（ ク ）a
とすれば、関数
y＝ax2＋（［ オ ］―［ カ ］a）x＋（ キ ）＋（ ク ）a・・・①
のグラフは2点PとQを通る。
（3）太郎さんと花子さんは、aの値を0より大きい範囲で変えながら、関数①のグラフを表示させて、頂点のy座標について考えている。
太郎：aの値をより大きい範囲で変えながら、関数①のグラフの頂点を考えてみようよ。
花子：グラフの頂点のy座標が最大になるような関数はどのようなものなのかな。
太郎：グラフの頂点の座標をaの式で表して考えるのは、私たちには難しそうだね。別のやり方はないかな。
花子：グラフを表示してみたら、2点P（1，2），Q（3，4）とグラフの頂点との関係がわかるね。
太郎：どのaに対しても、関数①のグラフは必ずPとQを通るね。
花子：しかもaが正の実数だから、関数①のグラフは下に凸で、頂点はグラフの一番下になるね。
太郎：そう考えると、頂点のy座標が最大になるようなグラフが予想できるね。
グラフの頂点のy座標の最大値は（ ケ ）であり、頂点のy座標が最大に
なるaの値は（ コ ）／（ サ ）である。
（ ケ ）にあてはまるものを一つ選べ。
（2）花子さんと太郎さんは、a＝2、b＝−7、c＝7と定めたとき、関数y＝2x2−7x＋7のグラフが、点P（1，2）と点Q（3，4）を通ることに気づいて、コンピュータの画面を見ながら、次のように話している。
花子：このグラフは点P（1，2），Q（3，4）を通っているね。
太郎：aの値を変えるとグラフはどうなるのかな。
花子：aの値だけを変えたら、P，Qを通らなくなったよ。P，Qを通るようにするには、aの値に応じてbとcの値をどう変えたらよいのかな。
0でない実数aに対して
b＝（ オ ）―（ カ ）a
c＝（ キ ）＋（ ク ）a
とすれば、関数
y＝ax2＋（［ オ ］―［ カ ］a）x＋（ キ ）＋（ ク ）a・・・①
のグラフは2点PとQを通る。
（3）太郎さんと花子さんは、aの値を0より大きい範囲で変えながら、関数①のグラフを表示させて、頂点のy座標について考えている。
太郎：aの値をより大きい範囲で変えながら、関数①のグラフの頂点を考えてみようよ。
花子：グラフの頂点のy座標が最大になるような関数はどのようなものなのかな。
太郎：グラフの頂点の座標をaの式で表して考えるのは、私たちには難しそうだね。別のやり方はないかな。
花子：グラフを表示してみたら、2点P（1，2），Q（3，4）とグラフの頂点との関係がわかるね。
太郎：どのaに対しても、関数①のグラフは必ずPとQを通るね。
花子：しかもaが正の実数だから、関数①のグラフは下に凸で、頂点はグラフの一番下になるね。
太郎：そう考えると、頂点のy座標が最大になるようなグラフが予想できるね。
グラフの頂点のy座標の最大値は（ ケ ）であり、頂点のy座標が最大に
なるaの値は（ コ ）／（ サ ）である。
（ ケ ）にあてはまるものを一つ選べ。
- ケ：1
- ケ：2
- ケ：3
- ケ：4
正解！素晴らしいです
残念...
この過去問の解説 （2件）
01
問題の参考図を見ると、「点Pが２次関数の頂点の時」が、頂点の y 座標が最大値になる場合ではないかと推測できます。
a が正なので２次関数のグラフは「下に凸（とつ）」の形であり、
点Pよりも頂点の y 座標が大きい２次関数は、点Pを通る事ができないからです。
ただし、より正確には２次関数の頂点が点Pの位置になり得るか検証が必要です。
その検証は次の設問の（コ）（サ）により行われる事になりますが、
ここでも記しておきます。
点 P のｘ座標と（オ）（カ）の結果 b = 1 -4a を使う事により
1 = -b/(2a) （右辺は頂点の x 座標を表す式で、設問（ア）～（エ）でも考察しています。）
b を代入すると
2a = -1+4a
⇔ 2a =1
⇔ a=1/2 の時に頂点は点Ｐの位置にあり、aは正の値という条件に合います。
（この a の値は次の設問（コ）（サ）の解答となります。）
よって、グラフの頂点のy座標の最大値は点Pのy座標の値である「2」であり、それが設問（ケ）の解答となります。
設問（ア）～（エ）より
設問（オ）～（カ）より
「2」は点Pのy座標の値です。
次の設問を先に見ると解答の選択肢により a >0 の範囲で存在し得る事が分かるので、
ここで計算をする事なく「点Pが頂点になるという推測は正しいはず」と判断する事は可能です。
計算による検証は次の設問で行われるのですが、ここでの解説でも記しておきました。
計算はより複雑になりますが、図からの推測の後の検証は点Pのｙ座標からもできます。
y=c -b2/(4a) から、
1+3a -(1 -8a + 16a2)/(4a) = 2 とします。
両辺に a を掛けて
4a + 12a2 -1 +8a - 16a2 = 8a
⇔ 4a2 -4a +1= 0
⇔ (2a-1)2 = 0
⇔ a=1/2
x 座標を使った時と同じ結果が得られ、重解であるため解が１つだけである事も含めて合致しています。
この設問は図が大きなヒントになっています。
点Pと点Qを必ず通るため、頂点のｙ座標は最大で点Ｐの位置であると推測できます。
その推測で実際正しいので、即座に選択肢を選ぶ事も本設問では結果的に可能ですが、
より正確には頂点が点 P の位置になり得るかを調べる必要があります。
その計算による検証は、本来は次の設問で行われます。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
02
今、下に凸の放物線を考えていますので、頂点のy座標が放物線の中で最小値になることがわかります。
2点P（1，2），Q（3，4）を同時に通るので、
この2点のy座標の小さい方、P（1，2）が頂点になるときが、頂点のy座標の最大値となります。
条件を満たす放物線の形を思い浮かべましょう。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
前の問題（問13）へ
令和7年度（2025年度）追・試験 問題一覧
次の問題（問15）へ