大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問15 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問4)

２次関数の頂点の x 座標は -b/(2a) です。（設問（ア）～（エ）の計算から。）

次に前問（ケ）から頂点の座標が点P（1，2）と推測されたので、
点 P の x 座標を使って計算を行います。
解答の検証のために前問（ケ）で行った計算と同じになりますが、再掲します。

前問（ケ）で行った計算

点 P のｘ座標と（オ）（カ）の結果 b = 1 -4a を使う事により
1 = -b/(2a) （右辺は頂点の x 座標を表す式で、設問（ア）～（エ）でも考察しています。）
b を代入すると
2a = -1+4a
⇔ 2a =1
⇔ a=1/2 の時に頂点は点Ｐの位置にあり、aは正の値という条件に合います。
（この a の値は次の設問（コ）（サ）の解答となります。）

コ：1　サ：2 が本設問の解答となります。

設問（ア）～（エ）より

公式を覚えていれば直接的に解答を得れますが、
そうでない場合は a≠0のもとで式を変形して
ax²+bx+c = a(x²+b/a)+c = a{x+b/(2a)}²+c-b²/(4a)

 

よって、この２次関数の頂点の座標は x=-b/(2a), y=c -b²/(4a) です。

設問（オ）～（カ）より

a, b, c の値が不明である条件のもと、
（1，2）および（3，4）の座標の値を２次式に代入すると
2 = a + b + c
4 = 9a + 3b + c
 

これら２つの式は b と c に関する連立１次方程式になっています。

第２式の両辺から第１式の両辺を引くと、
2 = 8a +2b ⇔ b= 1-4a
この  b の値を第１式に代入すると
2 = a+ 1 -4a +c ⇔ c= 1+3a

空欄（オ）〜（ク）

y=ax²+bx+c
に点P（1，2）， Q（3，4）を代入して、b, cをaで表す形で求めます。

点P（1，2）より 2=a+b+c ... (1-1)
点Q（3，4）より 4=9a+3b+c ... (1-2)
(1-2)-(1-1)より
2=8a+b

b=1-4a
3✕(1-1)-(1-2)より

2=-6a+2c

c=1+3a

①より

y=ax²+(1-4a)x+(1+3a)

=a(x²+(1-4a)x/a+(1-4a)²/(4a²))+(1+3a)-(1-4a)²/(4a)

=a(x+(1-4a)/(2a))²+(-4a²+12a-1)/(4a)

頂点が点P（1，2）=(-(1-4a)/(2a), (-4a²+12a-1)/(4a))となるので、x座標から

-(1-4a)/(2a)=1
a=1/2