大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問16 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問5)

空欄（オ）〜（ク）

y=ax²+bx+c
に点P（1，2）， Q（3，4）を代入して、b, cをaで表す形で求めます。

点P（1，2）より 2=a+b+c ... (1-1)
点Q（3，4）より 4=9a+3b+c ... (1-2)
(1-2)-(1-1)より
2=8a+b

b=1-4a
3✕(1-1)-(1-2)より

2=-6a+2c

c=1+3a

空欄（コ）、（サ）

①より

y=ax²+(1-4a)x+(1+3a)

=a(x²+(1-4a)x/a+(1-4a)²/(4a²))+(1+3a)-(1-4a)²/(4a)

=a(x+(1-4a)/(2a))²+(-4a²+12a-1)/(4a)

頂点が点P（1，2）=(-(1-4a)/(2a), (-4a²+12a-1)/(4a))となるので、x座標から

-(1-4a)/(2a)=1
a=1/2

（A）

①に点（0，3）を代入します。

y=ax²+(1-4a)x+(1+3a)

3=1+3a

a=2/3
a<0ではないので、条件に合いません。

（B）

①より、y軸の切片y₁は

y=ax²+(1-4a)x+(1+3a)
y₁=1+3a

上に凸の放物線なので、y₁>0であれば、x軸の負の部分と交わることがわかる。

つまり
y₁=1+3a>0
-1/3<a
よって、-1/3<a<0のとき、x軸の負の部分と交わります。

（C)

頂点のx座標が2以下になるため、

-(1-4a)/(2a)<2

-1/(2a)<0
a>0
これはa<0という前提と異なります。