共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問16 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問5)

問題文より

y=ax²+bx+cがP(1,2),Q(3,4)を通るため

これらの座標を代入します。

P(1,2)を代入すると

9a+3b+c=4

Q(3,4)を代入すると

a+b+c=2

これらの両辺を引くと

8a+2b=2

この式を整理すると

b=1-4a

になります。

この式を

a+b+c=2に代入して整理します。

a+1-4a+c=2

c=1+3a

になります。

これらの式をy=ax²+bx+cに代入すると

y=ax²+(1-4a)x+(1+3a)…①

が与えられます。

ここからはa<0であることに注意します。

(A)を検討します。

➀に(0,3)を代入すると

3=1+3a

a=2/3

この値はa<0であることに矛盾しますので、Aは起こりえません。

(B)を検討します。

➀にx=0を代入するとy切片が求められます。

y=1+3a

この値が正になると上に凸のグラフの場合、関数のグラフとx軸の負の部分が交わります。

1+3a>0として整理をすると

a>-1/3

これはa<0であることと矛盾しないので、Bは起こりえます。

(C)を検討します。

➀を平方完成していきます。

y=ax²+(1-4a)x+(1+3a)

y=a｛x²+(1/a-4)x｝+(1+3a)

y=a［｛x+(1/2a-2)｝²-(1/2a-2)²/4+1+3a

この式より軸はx=2-1/2aとなります。

a<0なので2-1/2a>2となり、Cは起こりえません。

（A）（B）（C）の３つの正誤の組み合わせを問う問題ですが、
実質的には３つの問いがあると考えるべきでしょう。

a が負の時、
x = 0 とすると y = c = 1 + 3a < 1 で、(0, 3) を通る事はできません。（A）の場合は「起こり得ない」事になります。
また、この計算結果から x 軸の負の部分と交わるかどうかは「交わる場合（a の絶対値が小さい時）」と「交わらない場合（ｘの絶対値が十分大きい時）」がある事が分かります。a が負の時には、頂点のy座標が正であればグラフはx軸の負の部分と交わり、頂点のy座標が負であれば交わらないからです。

本設問は「起こり得るか」を問題にしているので、（B）の場合は「起こり得る」事になります。

次に頂点の x 座標 -b/(2a) = -(1-4a)/(2a)= 2-1/(2a) >2 であり、頂点のｘ座標は「2 より大きい値」となり、
(C) の場合は起き得ない事になります。

よって、起き得るのは「（Ｂ）だけである」という選択肢が設問（シ）の解答となります。

設問（ア）～（エ）より

公式を覚えていれば直接的に解答を得れますが、
そうでない場合は a≠0のもとで式を変形して
ax²+bx+c = a(x²+b/a)+c = a{x+b/(2a)}²+c-b²/(4a)

 

よって、この２次関数の頂点の座標は x=-b/(2a), y=c -b²/(4a) です。

空欄（オ）〜（ク）

y=ax²+bx+c
に点P（1，2）， Q（3，4）を代入して、b, cをaで表す形で求めます。

点P（1，2）より 2=a+b+c ... (1-1)
点Q（3，4）より 4=9a+3b+c ... (1-2)
(1-2)-(1-1)より
2=8a+b

b=1-4a
3✕(1-1)-(1-2)より

2=-6a+2c

c=1+3a

空欄（コ）、（サ）

①より

y=ax²+(1-4a)x+(1+3a)

=a(x²+(1-4a)x/a+(1-4a)²/(4a²))+(1+3a)-(1-4a)²/(4a)

=a(x+(1-4a)/(2a))²+(-4a²+12a-1)/(4a)

頂点が点P（1，2）=(-(1-4a)/(2a), (-4a²+12a-1)/(4a))となるので、x座標から

-(1-4a)/(2a)=1
a=1/2

（A）

①に点（0，3）を代入します。

y=ax²+(1-4a)x+(1+3a)

3=1+3a

a=2/3
a<0ではないので、条件に合いません。

（B）

①より、y軸の切片y₁は

y=ax²+(1-4a)x+(1+3a)
y₁=1+3a

上に凸の放物線なので、y₁>0であれば、x軸の負の部分と交わることがわかる。

つまり
y₁=1+3a>0
-1/3<a
よって、-1/3<a<0のとき、x軸の負の部分と交わります。

（C)

頂点のx座標が2以下になるため、

-(1-4a)/(2a)<2

-1/(2a)<0
a>0
これはa<0という前提と異なります。