大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問21 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問10)
問題文
以下（ チ ）にあてはまるものを一つ選べ。
〔2〕太郎さんと花子さんは、令和4年度の全国体力・運動能力、運動習慣等調査（47都道府県ごと）の結果を用いて、小学校第5学年の男子児童と中学校第2学年の男子生徒について、「運動（体を動かす遊びを含む）やスポーツをすることは好きですかという質問に対して、好きと回答した児童・生徒の割合」（以下、スポーツ好き）と「反復横とびの点数の平均値」（以下、反復横とび）の関係を調べることにした。
なお、以下の図については、スポーツ庁のWebページをもとに作成している。
（3）太郎さんと花子さんは、散布図においていくつかの集団があるときの全体の相関係数について関心をもち、簡単な例で考えることにした。
変量x，yの値の組
（−1，1）、（1，−1）
を考える。このとき、相関係数は−1となる。
〔2〕太郎さんと花子さんは、令和4年度の全国体力・運動能力、運動習慣等調査（47都道府県ごと）の結果を用いて、小学校第5学年の男子児童と中学校第2学年の男子生徒について、「運動（体を動かす遊びを含む）やスポーツをすることは好きですかという質問に対して、好きと回答した児童・生徒の割合」（以下、スポーツ好き）と「反復横とびの点数の平均値」（以下、反復横とび）の関係を調べることにした。
なお、以下の図については、スポーツ庁のWebページをもとに作成している。
（3）太郎さんと花子さんは、散布図においていくつかの集団があるときの全体の相関係数について関心をもち、簡単な例で考えることにした。
変量x，yの値の組
（−1，1）、（1，−1）
を考える。このとき、相関係数は−1となる。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）追・試験 問21（数学Ⅰ・数学A（第2問） 問10） （訂正依頼・報告はこちら）
以下（ チ ）にあてはまるものを一つ選べ。
〔2〕太郎さんと花子さんは、令和4年度の全国体力・運動能力、運動習慣等調査（47都道府県ごと）の結果を用いて、小学校第5学年の男子児童と中学校第2学年の男子生徒について、「運動（体を動かす遊びを含む）やスポーツをすることは好きですかという質問に対して、好きと回答した児童・生徒の割合」（以下、スポーツ好き）と「反復横とびの点数の平均値」（以下、反復横とび）の関係を調べることにした。
なお、以下の図については、スポーツ庁のWebページをもとに作成している。
（3）太郎さんと花子さんは、散布図においていくつかの集団があるときの全体の相関係数について関心をもち、簡単な例で考えることにした。
変量x，yの値の組
（−1，1）、（1，−1）
を考える。このとき、相関係数は−1となる。
〔2〕太郎さんと花子さんは、令和4年度の全国体力・運動能力、運動習慣等調査（47都道府県ごと）の結果を用いて、小学校第5学年の男子児童と中学校第2学年の男子生徒について、「運動（体を動かす遊びを含む）やスポーツをすることは好きですかという質問に対して、好きと回答した児童・生徒の割合」（以下、スポーツ好き）と「反復横とびの点数の平均値」（以下、反復横とび）の関係を調べることにした。
なお、以下の図については、スポーツ庁のWebページをもとに作成している。
（3）太郎さんと花子さんは、散布図においていくつかの集団があるときの全体の相関係数について関心をもち、簡単な例で考えることにした。
変量x，yの値の組
（−1，1）、（1，−1）
を考える。このとき、相関係数は−1となる。
- 0
- 1
- −3／2
- −1
- −1／2
- −1／3
- 1／3
- 1／2
- 3／2
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この過去問の解説 （2件）
01
ｘとｙに関する共分散を計算する設問です。
共分散の計算には、
ｘの偏差「x - xの平均値」と
ｙの偏差「y - yの平均値」の積が必要となりますが、
設問（ソ）からｘの平均値は 0です。
また、同様にｙの平均値も計算すると (1 - 1 + 0 - 2 + 2 + 0)/6 = 0 であるので、
本設問の計算は xy を組ごとに計算して足し合わせ、データ数である 6 で割ればよい事になります。
すると、xy で 0 にならない項は最初の（−1,1）（1,−1）の組によるものだけなので、
本設問での共分散は（-1 -1)/6 = -2/6 = -1/3 です。
「-1/3」の選択肢が設問（チ）の解答となります。
設問（ソ）
共分散の定義式にそのまま当てはめて計算すると、
{(-1 -0)(1 -0) + (1 -0)(-1 -0) + (-2 -0)(0 -0) + (0 -0)(-2 - 0) + (0 - 0)(2 - 0) + (2- 0)(0 - 0)}/6
= (-1 -1 +0 + 0 +0 +0)/6
= (-1-1)/6
= -2/6 = -1/3 となります。
共分散の定義を覚えている事が重要です。
ｘとｙの２つの量の組がある時、
共分散はｘの偏差とｙの偏差を掛け合わせ、
それらを全て足し合わせてデータ数で割る事で計算する事ができます。
共分散の定義は、式で書くと次のようになります。
共分散の定義式の分子を「偏差積和」と呼ぶ事もあり、「共分散＝偏差積和／データ数」と表現する事もできます。
（※共分散も分散と同様に「推測統計学」の立場では「データ数」nではなく「データ数- 1」n-1 で割る定義とするのが普通です。しかし本設問は「記述統計学」の立場であると考えられるので、共分散の定義もデータ数 n で割るものと解釈できます。）
前設問（タ）のまとめの注釈より
分散を計算する前設問（タ）と同様に、
本設問も共分散の定義式さえ覚えていれば計算は比較的簡単なものとなります。
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02
※ xの平均値はbar(x)と表記します。
空欄（ソ）
表1の列「y」より「x」と要素は同じなので、
bar(x)=bar(y)=0
表1は、すべて記入すると以下の通り。
表１の列「(x-bar(x))(y-bar(y))」より
Sxy=((x1-bar(x1))(y1-bar(y1))+(x2-bar(x2))(y2-bar(y2))+ ... +(xn-bar(xn))(yn-bar(yn)))/n
=((-1)+(-1)+(0)+(0)+(0)+(0))/6
=-2/6
=-1/3
共分散Sxy=((x1-bar(x1))(y1-bar(y1))+(x2-bar(x2))(y2-bar(y2))+ ... +(xn-bar(xn))(yn-bar(yn)))/n
を計算できるようにしておきましょう。
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