大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問22 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問11)

相関係数の定義は「(x, y の共分散)/{(x の標準偏差)(y の標準偏差)}」です。
標準偏差は分散の平方根（正の値）になります。

問題文にもあるように、s_x² = s_y² です。

すなわち x と y の分散は同じ値です。
したがって x と y の標準偏差も同じ値になります。

s_x = s_y です。

つまり、

本設問では(x の標準偏差)(y の標準偏差)＝(x の標準偏差)²=(x の分散)となります。
設問（タ）から x の分散 ＝ 5/3 であり、
設問（チ）から x, y の共分散は (-1/3) ですので、
相関係数は (-1/3)/(5/3) = -1/5 となります。

「-1/5」の選択肢が設問（ツ）の解答です。
 

設問（チ）

共分散の計算には、
ｘの偏差「x - xの平均値」と
ｙの偏差「y - yの平均値」の積が必要となりますが、
設問（ソ）からｘの平均値は 0です。
また、同様にｙの平均値も計算すると (1 - 1 + 0 - 2 + 2 + 0)/6 = 0 であるので、
本設問の計算は xy を組ごとに計算して足し合わせ、データ数である 6 で割ればよい事になります。
すると、xy で 0 にならない項は最初の（−1,1）（1,−1）の組によるものだけなので、
本設問での共分散は（-1 -1)/6 = -2/6 = -1/3 です。

設問（タ）

前問（ソ）からｘの平均値が 0 と分かったので、
分散の計算に使用する「偏差」である「x - xの平均値」 は全て x に等しい事になります。

分散は「偏差平方和」をデータ数 n で割った値、
すなわちここでは「(x - xの平均値) ²」を全て足して 6 で割った値になります。
 

よって本設問での x の分散は、

それぞれのx の値を2乗して全て足し合わせてから 6 で割った値です。
計算は 0 であるものをあらかじめ除いて、 

(1+1+4+4)/6 = 10/6 =5/3 となります。

設問（ソ）

（−1,1）（1,−1）の組に（-2,0）（0,−2）（0,2）（2,0）を付け加えてx の平均値を考えます。

（問題文には「加える」と書いてありますが値を加えるわけではありません。組を増やすという事です。）
x の合計は 0 ですので平均値も 0 です。
よって、設問（ソ）の解答は「０」になります。

式で書くと (-1 +1  -2 + 0 + 0 + 2)/6 =0 です。

※ xの平均値はbar(x)と表記します。

空欄（ソ）

表１の列「x」より

bar(x)=(x₁+x₂+ ... +x_n)/n
=(-1+1-2+0+0+2)/6

=0

空欄（チ）

表1の列「y」より「x」と要素は同じなので、
bar(x)=bar(y)=0

 

表1は、すべて記入すると以下の通り。

x	y	x-bar(x)	y-bar(y)	(x-bar(x))(y-bar(y))
-1	1	-1	1	-1
1	-1	1	-1	-1
-2	0	-2	0	0
0	-2	0	-2	0
0	2	0	2	0
2	0	2	0	0

表１の列「(x-bar(x))(y-bar(y))」より
S_xy=((x₁-bar(x₁))(y₁-bar(y₁))+(x₂-bar(x₂))(y₂-bar(y₂))+ ... +(x_n-bar(x_n))(y_n-bar(y_n)))/n

=((-1)+(-1)+(0)+(0)+(0)+(0))/6
=-2/6

=-1/3

空欄（タ）

表１の列「x-bar(x)」より
S_x²=((x₁-bar(x₁))+(x₂-bar(x₂))+ ... +(x_n-bar(x_n)))/n

=((-1)²+(1)²+(-2)²+(0)²+(0)²+(2)²)/6
=(1+1+4+4)/6
=10/6
=5/3

S_x²=S_y²より

r_xy=S_xy/S_xS_y

=S_xy/S_x²

=(-1/3)/(5/3)
=-1/5