大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問23 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問12)

改めて付け加えられた４つの組を見ると、
x についても yについても平均については +a と -a が打ち消し合って a には無関係な値であり、
+1 と -1 も打ち消し合って 0 になる事が分かります。

問題文に「相関係数が正であるための必要十分条件は、共分散が正であること」とあるので、
x, y ｂの平均がともに 0 である事に注意して共分散を計算すると
{-1・1 +1・(-1) +(-1-a)(1-a)+(1-a)(-1-a)+(-1+a)(1+a)+(1+a)(-1+a)}/6
= {-2+(-1+a²)+(-1+a²)+(-1+a²)+(-1+a²)}/6
= (-6 + 4a²)/6
= (-3 + 2a²)/3

よって、共分散が正になるためには
-3+2a² > 0 ⇔a² > 3/2
a は正の値であると問題文に記載があるので、
a > √(3/2) =(√6)/2

テ：6　ト：2　の組み合わせである選択肢が設問（テ）（ト）の解答となります。

※ xの平均値はbar(x)と表記します。

データW'の表は以下の通り。bar(x)、bar(y)については後述。

表の列「x」より

bar(x)=(x₁+x₂+ ... +x_n)/n
=((-1)+(1)+(-1-a)+(1-a)+(-1+a)+(1+a))/6

=0

表の列「y」より「x」と要素は同じなので、
bar(x)=bar(y)=0

表の列「(x-bar(x))(y-bar(y))」より
S_xy=((x₁-bar(x₁))(y₁-bar(y₁))+(x₂-bar(x₂))(y₂-bar(y₂))+ ... +(x_n-bar(x_n))(y_n-bar(y_n)))/n

=((-1)+(-1)+(-1+a²)+(-1+a²)+(-1+a²)+(-1+a²))/6
=(-6+4a²)/6

=(2a²-3)/3

今、r_xy>0とすると、r_xy=S_xy/S_xS_y、S_x>0、S_y>0より
S_xy>0
(2a²-3)/3>0
2a²-3>0
a²>3/2

a>0より

a>√(3/2)=√(6)/2