大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問24 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問1)
問題文
△OABの内心をIとし、△OABの内接円と辺ABとの接点をLとする。また、△OABの内接円と辺OA，OBとの接点を、それぞれM、Nとする。さらに、∠AOB＝2θ，∠OAB＝2α，∠OBA＝2βとおく。
（1）点Iが△OABの内心であることから、4点A，I，L，（ ア ）は同一円周上にあることがわかる。
（ ア ）にあてはまるものを一つ選べ。
（1）点Iが△OABの内心であることから、4点A，I，L，（ ア ）は同一円周上にあることがわかる。
（ ア ）にあてはまるものを一つ選べ。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）追・試験 問24（数学Ⅰ・数学A（第3問） 問1） （訂正依頼・報告はこちら）
△OABの内心をIとし、△OABの内接円と辺ABとの接点をLとする。また、△OABの内接円と辺OA，OBとの接点を、それぞれM、Nとする。さらに、∠AOB＝2θ，∠OAB＝2α，∠OBA＝2βとおく。
（1）点Iが△OABの内心であることから、4点A，I，L，（ ア ）は同一円周上にあることがわかる。
（ ア ）にあてはまるものを一つ選べ。
（1）点Iが△OABの内心であることから、4点A，I，L，（ ア ）は同一円周上にあることがわかる。
（ ア ）にあてはまるものを一つ選べ。
- B
- M
- N
- O
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この過去問の解説 （2件）
01
問題文に図がなく、文章だけからは分かりにくいので図を描いたほうがよいと思われます。
本設問では４つの点が同一円周上にあるとされていて、
そのうち３つは A, I, L であるとされています。
すると、∠ALI は直角なので
そのような円は「線分AIを直径とする円」であると分かります。
同様にして∠AMI も直角なので、
A, M , I も「線分AIを直径とする円」の円周上の点である事になります。
よって、同一円周上にあるのは A, I, L と M です。
「M」の選択肢が設問（ア）の解答となります。
線分AIに着目し、それが「直径」である事に気付くと解答を導出できます。
直径を一辺とする円に内接する三角形の円周角が直角となる事は、円周角の定理から導出されます。（180°/2 = 90°）
他方、円に接する線と、接点と円の中心を結ぶ線は直交します。
それらの事を合わせると解答を導出できます。
この問題では状況が文章だけからは分かりにくいので図を描いたほうがよいでしょう。
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02
問題文に沿って△OABを図示します。
内接円の半径ILと、内接円に接するALのなす角は90°です。
AIを結んだとき、△AIL(図中橙色)は直角三角形であることから、
直径をAIとした円周上(図中緑色)に点A、I、Lがあることがわかります。
この円周上にある点を考えると、同じAIを辺とする△AIM(図中青色)に気が付きます。
内接円の半径IMと、内接円に接するAMのなす角は90°です。
△AIMは同じく直角三角形であることから、点Mも点A、I、Lと同じ円周上にあることがわかります。
まずは何よりも図示しましょう。
また、同一円周上の3点が作る三角形の特徴(この場合直角三角形)の特徴から導き出しましょう。
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