大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問25 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問2)
問題文
△OABの内心をIとし、△OABの内接円と辺ABとの接点をLとする。また、△OABの内接円と辺OA，OBとの接点を、それぞれM、Nとする。さらに、∠AOB＝2θ，∠OAB＝2α，∠OBA＝2βとおく。
（2）辺OAと直線BIとの交点をXとする。このとき、辺OA上における2点M，Xの位置関係について考えよう。そのために、∠OMIと∠OXIの大小関係を調べる。まず
∠OMI＝（ イウ ）°
である。また、△OBXに着目し、θ＋α＋β＝90°であることに注意して、
∠OXIをβを用いずに表すと
∠OXI＝（ イウ ）°＋（ エ ）−（ オ ）
となる。
このことから、（ エ ）＜（ オ ）のとき点Xは（ カ ）ことがわかり、（ エ ）＞（ オ ）のとき点Xは（ キ ）ことがわかる。
（ イ ），（ ウ ），（ エ ），（ オ ）にあてはまるものを一つ選べ。
（2）辺OAと直線BIとの交点をXとする。このとき、辺OA上における2点M，Xの位置関係について考えよう。そのために、∠OMIと∠OXIの大小関係を調べる。まず
∠OMI＝（ イウ ）°
である。また、△OBXに着目し、θ＋α＋β＝90°であることに注意して、
∠OXIをβを用いずに表すと
∠OXI＝（ イウ ）°＋（ エ ）−（ オ ）
となる。
このことから、（ エ ）＜（ オ ）のとき点Xは（ カ ）ことがわかり、（ エ ）＞（ オ ）のとき点Xは（ キ ）ことがわかる。
（ イ ），（ ウ ），（ エ ），（ オ ）にあてはまるものを一つ選べ。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）追・試験 問25（数学Ⅰ・数学A（第3問） 問2） （訂正依頼・報告はこちら）
△OABの内心をIとし、△OABの内接円と辺ABとの接点をLとする。また、△OABの内接円と辺OA，OBとの接点を、それぞれM、Nとする。さらに、∠AOB＝2θ，∠OAB＝2α，∠OBA＝2βとおく。
（2）辺OAと直線BIとの交点をXとする。このとき、辺OA上における2点M，Xの位置関係について考えよう。そのために、∠OMIと∠OXIの大小関係を調べる。まず
∠OMI＝（ イウ ）°
である。また、△OBXに着目し、θ＋α＋β＝90°であることに注意して、
∠OXIをβを用いずに表すと
∠OXI＝（ イウ ）°＋（ エ ）−（ オ ）
となる。
このことから、（ エ ）＜（ オ ）のとき点Xは（ カ ）ことがわかり、（ エ ）＞（ オ ）のとき点Xは（ キ ）ことがわかる。
（ イ ），（ ウ ），（ エ ），（ オ ）にあてはまるものを一つ選べ。
（2）辺OAと直線BIとの交点をXとする。このとき、辺OA上における2点M，Xの位置関係について考えよう。そのために、∠OMIと∠OXIの大小関係を調べる。まず
∠OMI＝（ イウ ）°
である。また、△OBXに着目し、θ＋α＋β＝90°であることに注意して、
∠OXIをβを用いずに表すと
∠OXI＝（ イウ ）°＋（ エ ）−（ オ ）
となる。
このことから、（ エ ）＜（ オ ）のとき点Xは（ カ ）ことがわかり、（ エ ）＞（ オ ）のとき点Xは（ キ ）ことがわかる。
（ イ ），（ ウ ），（ エ ），（ オ ）にあてはまるものを一つ選べ。
- イ：6 ウ：0 エ：2α オ：θ
- イ：9 ウ：0 エ：α オ：θ
- イ：6 ウ：0 エ：2θ オ：α
- イ：9 ウ：0 エ：θ オ：α
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この過去問の解説 （2件）
01
まず、辺OM（および辺OA）は内接円に点Ｍで接するので∠OMI＝90°です。
次に三角形OXBの角度の関係を見ると
∠OXI + β+ 2θ =180° である事が分かりますが、
問題文には β を使わないようにと記されています。
問題文中の関係式 θ＋α＋β＝90° を使って、
第１式の両辺からから第２式の両辺を引いてβ を消去すると
∠OXI + θ -α = 90° ⇔ ∠OXI = 90° + α - θ
以上から、イ：9 ウ：0 エ：α オ：θ の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
（イ）（ウ）が ∠OMI＝90° で、
（エ）（オ）が ∠OXI = 90° + α - θ です。
α と θ が逆になった選択肢です。気を付けましょう。
落ち着いて角度の関係を整理すると、
本設問は比較的容易な三角形の角度計算となります。
∠IOM = θ, ∠IOL ＝β, ∠IAM =αとなる事は三角形の合同関係から
∠IOM = (1/2)∠AOB = θ のように計算する事から分かります。
また、問題文中の関係式 θ＋α＋β＝90° は、
三角形ABC について 2θ＋2α＋2β＝180° となる事から導出されています。
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02
内接円の半径IMと、内接円に接するOMのなす角は90°ですので、
∠OMI=90°
次に、Iが内心であることから、BIは∠OBAの二等分線なので、
∠OBI=∠OBA/2=β
よって△OXBは、
2θ+β+∠OXI=180°
∠OXI=180°-2θ-β
ここでθ＋α＋β＝90°よりβ=90°-θ-αなので
∠OXI=180°-2θ-(90°-θ-α)
=90°+α-θ
となります。
三角形の内心の特徴を把握しておきましょう。
各頂点と内心を結ぶ線は二等分線になります。
内心の他にも外心、重心、垂心、傍心を含め五心がありますので、
まるまる覚えてしまうか、すぐに証明できるようにしておきましょう。
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