大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問26 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問3)

設問（エ）（オ）より
∠OXI = 90° + α - θ 

つまり、
α ＜ θ の時に∠OXI は鋭角で、前問（イ）～（オ）で描いた図のようになり、
点 X は「点 M と異なり、線分AM 上にある」事が分かります。

他方、α > θ の時には∠OXI は鈍角となり、次の図のようになります。

その時に、点 X は「点 M と異なり、線分OM 上にある」事が分かります。

よって、
カ：点 M と異なり、線分AM 上にある
キ：点 M と異なり、線分OM 上にある
の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。

前問（イ）～（オ）

まず、辺OM（および辺OA）は内接円に点Ｍで接するので∠OMI＝90°です。

 

次に三角形OXBの角度の関係を見ると
∠OXI + β+ 2θ =180° である事が分かりますが、
問題文には β を使わないようにと記されています。

問題文中の関係式 θ＋α＋β＝90° を使って、
第１式の両辺からから第２式の両辺を引いてβ を消去すると
∠OXI + θ -α = 90° ⇔ ∠OXI = 90° + α - θ

空欄（イ）〜（オ）

内接円の半径IMと、内接円に接するOMのなす角は90°ですので、
∠OMI=90°

 

次に、Iが内心であることから、BIは∠OBAの二等分線なので、
∠OBI=∠OBA/2=β

よって△OXBは、

2θ+β+∠OXI=180°
∠OXI=180°-2θ-β

ここでθ＋α＋β＝90°よりβ=90°-θ-αなので
∠OXI=180°-2θ-(90°-θ-α)
=90°+α-θ

となります。

作図してみると一目瞭然ですが、
OXの長さを求めてみます。

MX≠0(つまり∠OXI≠90°)のとき、

tan∠OXI=MI/MX

MX=MI/tan∠OXI

より
OX=OM+MX

=OM+MI/tan∠OXI

となります。

0°<∠OXI<90°のとき(∠OXI=90°+α-θ<90° → α<θ)、
tan∠OXI>0となるためMI/tan∠OXI>0となります。よって、

OX=OM+MI/tan∠OXI>OM
図としては、上記、空欄（イ）〜（オ）で使用した図の形になります。

∠OXI=90°のとき(∠OXI=90°+α-θ=90° → α=θ)、

MとXが一致しますので、OX=OMとなります。

90°<∠OXI<180°のとき(90°<∠OXI=90°+α-θ → α>θ)、

tan∠OXI<0となるためMI/tan∠OXI<0となります。よって、

OX=OM+MI/tan∠OXI<OM
図としては以下の形になります。