大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問26 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問3)
問題文
△OABの内心をIとし、△OABの内接円と辺ABとの接点をLとする。また、△OABの内接円と辺OA，OBとの接点を、それぞれM、Nとする。さらに、∠AOB＝2θ，∠OAB＝2α，∠OBA＝2βとおく。
（2）辺OAと直線BIとの交点をXとする。このとき、辺OA上における2点M，Xの位置関係について考えよう。そのために、∠OMIと∠OXIの大小関係を調べる。まず
∠OMI＝（ イウ ）°
である。また、△OBXに着目し、θ＋α＋β＝90°であることに注意して、
∠OXIをβを用いずに表すと
∠OXI＝（ イウ ）°＋（ エ ）−（ オ ）
となる。
このことから、（ エ ）＜（ オ ）のとき点Xは（ カ ）ことがわかり、（ エ ）＞（ オ ）のとき点Xは（ キ ）ことがわかる。
（ カ ），（ キ ）にあてはまるものを選べ。
（2）辺OAと直線BIとの交点をXとする。このとき、辺OA上における2点M，Xの位置関係について考えよう。そのために、∠OMIと∠OXIの大小関係を調べる。まず
∠OMI＝（ イウ ）°
である。また、△OBXに着目し、θ＋α＋β＝90°であることに注意して、
∠OXIをβを用いずに表すと
∠OXI＝（ イウ ）°＋（ エ ）−（ オ ）
となる。
このことから、（ エ ）＜（ オ ）のとき点Xは（ カ ）ことがわかり、（ エ ）＞（ オ ）のとき点Xは（ キ ）ことがわかる。
（ カ ），（ キ ）にあてはまるものを選べ。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）追・試験 問26（数学Ⅰ・数学A（第3問） 問3） （訂正依頼・報告はこちら）
△OABの内心をIとし、△OABの内接円と辺ABとの接点をLとする。また、△OABの内接円と辺OA，OBとの接点を、それぞれM、Nとする。さらに、∠AOB＝2θ，∠OAB＝2α，∠OBA＝2βとおく。
（2）辺OAと直線BIとの交点をXとする。このとき、辺OA上における2点M，Xの位置関係について考えよう。そのために、∠OMIと∠OXIの大小関係を調べる。まず
∠OMI＝（ イウ ）°
である。また、△OBXに着目し、θ＋α＋β＝90°であることに注意して、
∠OXIをβを用いずに表すと
∠OXI＝（ イウ ）°＋（ エ ）−（ オ ）
となる。
このことから、（ エ ）＜（ オ ）のとき点Xは（ カ ）ことがわかり、（ エ ）＞（ オ ）のとき点Xは（ キ ）ことがわかる。
（ カ ），（ キ ）にあてはまるものを選べ。
（2）辺OAと直線BIとの交点をXとする。このとき、辺OA上における2点M，Xの位置関係について考えよう。そのために、∠OMIと∠OXIの大小関係を調べる。まず
∠OMI＝（ イウ ）°
である。また、△OBXに着目し、θ＋α＋β＝90°であることに注意して、
∠OXIをβを用いずに表すと
∠OXI＝（ イウ ）°＋（ エ ）−（ オ ）
となる。
このことから、（ エ ）＜（ オ ）のとき点Xは（ カ ）ことがわかり、（ エ ）＞（ オ ）のとき点Xは（ キ ）ことがわかる。
（ カ ），（ キ ）にあてはまるものを選べ。
- カ：点Mと一致する キ：点Mと異なり、線分OM上にある
- カ：点Mと一致する キ：点Mと異なり、線分AM上にある
- カ：点Mと異なり、線分OM上にある キ：点Mと一致する
- カ：点Mと異なり、線分OM上にある キ：点Mと異なり、線分AM上にある
- カ：点Mと異なり、線分AM上にある キ：点Mと一致する
- カ：点Mと異なり、線分AM上にある キ：点Mと異なり、線分OM上にある
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この過去問の解説 （1件）
01
空欄（イ）〜（オ）
作図してみると一目瞭然ですが、
OXの長さを求めてみます。
MX≠0(つまり∠OXI≠90°)のとき、
tan∠OXI=MI/MX
MX=MI/tan∠OXI
より
OX=OM+MX
=OM+MI/tan∠OXI
となります。
0°<∠OXI<90°のとき(∠OXI=90°+α-θ<90° → α<θ)、
tan∠OXI>0となるためMI/tan∠OXI>0となります。よって、
OX=OM+MI/tan∠OXI>OM
図としては、上記、空欄（イ）〜（オ）で使用した図の形になります。
∠OXI=90°のとき(∠OXI=90°+α-θ=90° → α=θ)、
MとXが一致しますので、OX=OMとなります。
90°<∠OXI<180°のとき(90°<∠OXI=90°+α-θ → α>θ)、
tan∠OXI<0となるためMI/tan∠OXI<0となります。よって、
OX=OM+MI/tan∠OXI<OM
図としては以下の形になります。
作図をしていれば一目瞭然です。
特にこのあとの設問で、α<θの図も、α>θの図も使用することになりますので、
両方書いているとよいです。
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