大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問27 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問4)
問題文
△OABの内心をIとし、△OABの内接円と辺ABとの接点をLとする。また、△OABの内接円と辺OA，OBとの接点を、それぞれM、Nとする。さらに、∠AOB＝2θ，∠OAB＝2α，∠OBA＝2βとおく。
（2）辺OAと直線BIとの交点をXとする。このとき、辺OA上における2点M，Xの位置関係について考えよう。そのために、∠OMIと∠OXIの大小関係を調べる。まず
∠OMI＝（ イウ ）°
である。また、△OBXに着目し、θ＋α＋β＝90°であることに注意して、
∠OXIをβを用いずに表すと
∠OXI＝（ イウ ）°＋（ エ ）−（ オ ）
となる。
このことから、（ エ ）＜（ オ ）のとき点Xは（ カ ）ことがわかり、（ エ ）＞（ オ ）のとき点Xは（ キ ）ことがわかる。
（3）直線MNとBIとの交点をPとする。
・（ エ ）＜（ オ ）とする。このとき直線MN上での3点P，M，Nの位置関係に注意すると、∠ONP＝（ ク ），∠OBP＝（ ケ ）となるので∠MPI＝（ コ ）となる。したがって、4点I，M，P，（ サ ）は同一円周上にある。
・（ エ ）＞（ オ ）とする。このとき∠MPI＝（ シ ）となる。したがって、4点I，M，P，（ サ ）は（ ス ）。
（ ク ），（ ケ ）にあてはまるものを一つ選べ。
（2）辺OAと直線BIとの交点をXとする。このとき、辺OA上における2点M，Xの位置関係について考えよう。そのために、∠OMIと∠OXIの大小関係を調べる。まず
∠OMI＝（ イウ ）°
である。また、△OBXに着目し、θ＋α＋β＝90°であることに注意して、
∠OXIをβを用いずに表すと
∠OXI＝（ イウ ）°＋（ エ ）−（ オ ）
となる。
このことから、（ エ ）＜（ オ ）のとき点Xは（ カ ）ことがわかり、（ エ ）＞（ オ ）のとき点Xは（ キ ）ことがわかる。
（3）直線MNとBIとの交点をPとする。
・（ エ ）＜（ オ ）とする。このとき直線MN上での3点P，M，Nの位置関係に注意すると、∠ONP＝（ ク ），∠OBP＝（ ケ ）となるので∠MPI＝（ コ ）となる。したがって、4点I，M，P，（ サ ）は同一円周上にある。
・（ エ ）＞（ オ ）とする。このとき∠MPI＝（ シ ）となる。したがって、4点I，M，P，（ サ ）は（ ス ）。
（ ク ），（ ケ ）にあてはまるものを一つ選べ。
このページは閲覧用ページです。
履歴を残すには、 「新しく出題する（ここをクリック）」 をご利用ください。
問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）追・試験 問27（数学Ⅰ・数学A（第3問） 問4） （訂正依頼・報告はこちら）
△OABの内心をIとし、△OABの内接円と辺ABとの接点をLとする。また、△OABの内接円と辺OA，OBとの接点を、それぞれM、Nとする。さらに、∠AOB＝2θ，∠OAB＝2α，∠OBA＝2βとおく。
（2）辺OAと直線BIとの交点をXとする。このとき、辺OA上における2点M，Xの位置関係について考えよう。そのために、∠OMIと∠OXIの大小関係を調べる。まず
∠OMI＝（ イウ ）°
である。また、△OBXに着目し、θ＋α＋β＝90°であることに注意して、
∠OXIをβを用いずに表すと
∠OXI＝（ イウ ）°＋（ エ ）−（ オ ）
となる。
このことから、（ エ ）＜（ オ ）のとき点Xは（ カ ）ことがわかり、（ エ ）＞（ オ ）のとき点Xは（ キ ）ことがわかる。
（3）直線MNとBIとの交点をPとする。
・（ エ ）＜（ オ ）とする。このとき直線MN上での3点P，M，Nの位置関係に注意すると、∠ONP＝（ ク ），∠OBP＝（ ケ ）となるので∠MPI＝（ コ ）となる。したがって、4点I，M，P，（ サ ）は同一円周上にある。
・（ エ ）＞（ オ ）とする。このとき∠MPI＝（ シ ）となる。したがって、4点I，M，P，（ サ ）は（ ス ）。
（ ク ），（ ケ ）にあてはまるものを一つ選べ。
（2）辺OAと直線BIとの交点をXとする。このとき、辺OA上における2点M，Xの位置関係について考えよう。そのために、∠OMIと∠OXIの大小関係を調べる。まず
∠OMI＝（ イウ ）°
である。また、△OBXに着目し、θ＋α＋β＝90°であることに注意して、
∠OXIをβを用いずに表すと
∠OXI＝（ イウ ）°＋（ エ ）−（ オ ）
となる。
このことから、（ エ ）＜（ オ ）のとき点Xは（ カ ）ことがわかり、（ エ ）＞（ オ ）のとき点Xは（ キ ）ことがわかる。
（3）直線MNとBIとの交点をPとする。
・（ エ ）＜（ オ ）とする。このとき直線MN上での3点P，M，Nの位置関係に注意すると、∠ONP＝（ ク ），∠OBP＝（ ケ ）となるので∠MPI＝（ コ ）となる。したがって、4点I，M，P，（ サ ）は同一円周上にある。
・（ エ ）＞（ オ ）とする。このとき∠MPI＝（ シ ）となる。したがって、4点I，M，P，（ サ ）は（ ス ）。
（ ク ），（ ケ ）にあてはまるものを一つ選べ。
- ク：θ ケ：180°−θ
- ク：α ケ：180°−α
- ク：β ケ：180°−β
- ク：90°−θ ケ：β
- ク：90°−α ケ：β
- ク：90°−β ケ：β
- ク：180°−θ ケ：θ
- ク：180°−α ケ：θ
- ク：180°−β ケ：θ
正解！素晴らしいです
残念...
この過去問の解説 （1件）
01
空欄（イ）〜（オ）
空欄（カ）、（キ）
△ONPを考えます。
点Oから延びる内心円への接線との接点がM、Nなので、
OM=ON
よって、△ONPは二等辺三角形なので、
∠ONM=∠OMN
よって、
∠MON+∠ONM+∠OMN=180°
2θ+∠ONM+∠ONM=180°
(∠ONP=)∠ONM=90°-θ
∠OBIは、Iが内心なので、BIは∠OBIの二等分線となるので、
(∠OBP=)∠OBI=∠OBA/2=β
点Oから延びる円Iとの接線との接点がM、Nのとき、
OM=ON
となります。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
前の問題（問26）へ
令和7年度（2025年度）追・試験 問題一覧
次の問題（問28）へ