大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問28 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問5)

三角形NPB の外角の性質に着目して、
∠NPB + ∠OBP = ∠ONP

設問（ク）（ケ）により
∠ONP ＝90° - θ
∠OBP＝ β  なので、
∠NPB = 90° - θ - β

∠MPI = ∠NPB なので （M とN は同一直線上、I とB は同一直線上にあります）
∠MPI = ∠NPB = 90° - θ - β 
設問（コ）は∠MPI を求めるものですが、
90° - θ - β は選択肢にありませんので変形できないかを考えます。

α+ β + θ = 90° なので
α = 90°  - θ - β
よって、∠MPI = α （設問（コ）の解答）
∠MAI = α なので、∠MPI = ∠MAI 
円周角の定理は逆も成立するので、
点 I, M, P, A は同一円周上にあります。（設問（サ）の解答）

以上から、
コ：α　サ：A　の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。

設問（ク）（ケ）

まず、三角形の内接円の性質から∠OBP＝ β が分かります。
（三角形 IBL と三角形IBN は合同であるためです。）

 

次に∠ONP についてですが、
ここでは、最初の設問（ア）を利用した方法を考えてみましょう。

設問（ア）と同様に考えて点O, M, I N は同一円周上にあります。
すると、弦OM に対する円周角の定理により ∠OIM = ∠ONM (＝∠ONP) 
ここで三角形OIM は直角三角形であり、∠OIM =90° - θ です。
よって、∠ONP = ∠ONM = ∠OIM =90° - θ となります。

空欄（イ）〜（オ）

空欄（イ）〜（オ）の解説の画像へのリンク

内接円の半径IMと、内接円に接するOMのなす角は90°ですので、
∠OMI=90°

 

次に、Iが内心であることから、BIは∠OBAの二等分線なので、
∠OBI=∠OBA/2=β

よって△OXBは、

2θ+β+∠OXI=180°
∠OXI=180°-2θ-β

ここでθ＋α＋β＝90°よりβ=90°-θ-αなので
∠OXI=180°-2θ-(90°-θ-α)
=90°+α-θ

となります。

空欄（カ）、（キ）

作図してみると一目瞭然ですが、
OXの長さを求めてみます。

MX≠0(つまり∠OXI≠90°)のとき、

tan∠OXI=MI/MX

MX=MI/tan∠OXI

より
OX=OM+MX

=OM+MI/tan∠OXI

となります。

 

0°<∠OXI<90°のとき(∠OXI=90°+α-θ<90° → α<θ)、
tan∠OXI>0となるためMI/tan∠OXI>0となります。よって、

OX=OM+MI/tan∠OXI>OM
図としては、上記、空欄（イ）〜（オ）で使用した図の形になります。

 

∠OXI=90°のとき(∠OXI=90°+α-θ=90° → α=θ)、

MとXが一致しますので、OX=OMとなります。

 

90°<∠OXI<180°のとき(90°<∠OXI=90°+α-θ → α>θ)、

tan∠OXI<0となるためMI/tan∠OXI<0となります。よって、

OX=OM+MI/tan∠OXI<OM
図としては以下の形になります。

空欄（カ）、（キ）の解説の画像へのリンク

空欄（ク）、（ケ）

△ONPを考えます。

点Oから延びる内心円への接線との接点がM、Nなので、

OM=ON

よって、△ONPは二等辺三角形なので、

∠ONM=∠OMN

よって、

∠MON+∠ONM+∠OMN=180°

2θ+∠ONM+∠ONM=180°

(∠ONP=)∠ONM=90°-θ

 

∠OBIは、Iが内心なので、BIは∠OBIの二等分線となるので、
(∠OBP=)∠OBI=∠OBA/2=β

△NPBを考えます。
∠NPB+∠OBP=∠ONP
∠NPB+β=90°-θ

∠NPB=90°-β-θ

このとき、空欄（イ）〜（オ）の問題分にもあったように、θ＋α＋β＝90°なので、90°-β-θ=αとなるので、

∠NPB=α

点I、M、Pと同一円周上にある点を考えます。

IMに注目し、△MAIを考えます。
Iが内心であることから、AIは∠OABの二等分線なので、
(∠MAI=)∠OAI=∠OAB/2=α

よって、△MPIと△MAIの対応関係を考えると、共通の辺IMを持ち、その対角はαとなります。

これは、同一円周上に頂点を持つ2つの三角形のとなります。