大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問28 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問5)
問題文
△OABの内心をIとし、△OABの内接円と辺ABとの接点をLとする。また、△OABの内接円と辺OA，OBとの接点を、それぞれM、Nとする。さらに、∠AOB＝2θ，∠OAB＝2α，∠OBA＝2βとおく。
（2）辺OAと直線BIとの交点をXとする。このとき、辺OA上における2点M，Xの位置関係について考えよう。そのために、∠OMIと∠OXIの大小関係を調べる。まず
∠OMI＝（ イウ ）°
である。また、△OBXに着目し、θ＋α＋β＝90°であることに注意して、
∠OXIをβを用いずに表すと
∠OXI＝（ イウ ）°＋（ エ ）−（ オ ）
となる。
このことから、（ エ ）＜（ オ ）のとき点Xは（ カ ）ことがわかり、（ エ ）＞（ オ ）のとき点Xは（ キ ）ことがわかる。
（3）直線MNとBIとの交点をPとする。
・（ エ ）＜（ オ ）とする。このとき直線MN上での3点P，M，Nの位置関係に注意すると、∠ONP＝（ ク ），∠OBP＝（ ケ ）となるので∠MPI＝（ コ ）となる。したがって、4点I，M，P，（ サ ）は同一円周上にある。
・（ エ ）＞（ オ ）とする。このとき∠MPI＝（ シ ）となる。したがって、4点I，M，P，（ サ ）は（ ス ）。
（ コ ），（ サ ）にあてはまるものを一つ選べ。
（2）辺OAと直線BIとの交点をXとする。このとき、辺OA上における2点M，Xの位置関係について考えよう。そのために、∠OMIと∠OXIの大小関係を調べる。まず
∠OMI＝（ イウ ）°
である。また、△OBXに着目し、θ＋α＋β＝90°であることに注意して、
∠OXIをβを用いずに表すと
∠OXI＝（ イウ ）°＋（ エ ）−（ オ ）
となる。
このことから、（ エ ）＜（ オ ）のとき点Xは（ カ ）ことがわかり、（ エ ）＞（ オ ）のとき点Xは（ キ ）ことがわかる。
（3）直線MNとBIとの交点をPとする。
・（ エ ）＜（ オ ）とする。このとき直線MN上での3点P，M，Nの位置関係に注意すると、∠ONP＝（ ク ），∠OBP＝（ ケ ）となるので∠MPI＝（ コ ）となる。したがって、4点I，M，P，（ サ ）は同一円周上にある。
・（ エ ）＞（ オ ）とする。このとき∠MPI＝（ シ ）となる。したがって、4点I，M，P，（ サ ）は（ ス ）。
（ コ ），（ サ ）にあてはまるものを一つ選べ。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）追・試験 問28（数学Ⅰ・数学A（第3問） 問5） （訂正依頼・報告はこちら）
△OABの内心をIとし、△OABの内接円と辺ABとの接点をLとする。また、△OABの内接円と辺OA，OBとの接点を、それぞれM、Nとする。さらに、∠AOB＝2θ，∠OAB＝2α，∠OBA＝2βとおく。
（2）辺OAと直線BIとの交点をXとする。このとき、辺OA上における2点M，Xの位置関係について考えよう。そのために、∠OMIと∠OXIの大小関係を調べる。まず
∠OMI＝（ イウ ）°
である。また、△OBXに着目し、θ＋α＋β＝90°であることに注意して、
∠OXIをβを用いずに表すと
∠OXI＝（ イウ ）°＋（ エ ）−（ オ ）
となる。
このことから、（ エ ）＜（ オ ）のとき点Xは（ カ ）ことがわかり、（ エ ）＞（ オ ）のとき点Xは（ キ ）ことがわかる。
（3）直線MNとBIとの交点をPとする。
・（ エ ）＜（ オ ）とする。このとき直線MN上での3点P，M，Nの位置関係に注意すると、∠ONP＝（ ク ），∠OBP＝（ ケ ）となるので∠MPI＝（ コ ）となる。したがって、4点I，M，P，（ サ ）は同一円周上にある。
・（ エ ）＞（ オ ）とする。このとき∠MPI＝（ シ ）となる。したがって、4点I，M，P，（ サ ）は（ ス ）。
（ コ ），（ サ ）にあてはまるものを一つ選べ。
（2）辺OAと直線BIとの交点をXとする。このとき、辺OA上における2点M，Xの位置関係について考えよう。そのために、∠OMIと∠OXIの大小関係を調べる。まず
∠OMI＝（ イウ ）°
である。また、△OBXに着目し、θ＋α＋β＝90°であることに注意して、
∠OXIをβを用いずに表すと
∠OXI＝（ イウ ）°＋（ エ ）−（ オ ）
となる。
このことから、（ エ ）＜（ オ ）のとき点Xは（ カ ）ことがわかり、（ エ ）＞（ オ ）のとき点Xは（ キ ）ことがわかる。
（3）直線MNとBIとの交点をPとする。
・（ エ ）＜（ オ ）とする。このとき直線MN上での3点P，M，Nの位置関係に注意すると、∠ONP＝（ ク ），∠OBP＝（ ケ ）となるので∠MPI＝（ コ ）となる。したがって、4点I，M，P，（ サ ）は同一円周上にある。
・（ エ ）＞（ オ ）とする。このとき∠MPI＝（ シ ）となる。したがって、4点I，M，P，（ サ ）は（ ス ）。
（ コ ），（ サ ）にあてはまるものを一つ選べ。
- コ：θ サ：A
- コ：α サ：A
- コ：β サ：A
- コ：90°−θ サ：B
- コ：90°−α サ：B
- コ：90°−β サ：N
- コ：180°−θ サ：N
- コ：180°−α サ：O
- コ：180°−β サ：O
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この過去問の解説 （1件）
01
空欄（イ）〜（オ）
空欄（カ）、（キ）
空欄（ク）、（ケ）
△NPBを考えます。
∠NPB+∠OBP=∠ONP
∠NPB+β=90°-θ
∠NPB=90°-β-θ
このとき、空欄（イ）〜（オ）の問題分にもあったように、θ＋α＋β＝90°なので、90°-β-θ=αとなるので、
∠NPB=α
点I、M、Pと同一円周上にある点を考えます。
IMに注目し、△MAIを考えます。
Iが内心であることから、AIは∠OABの二等分線なので、
(∠MAI=)∠OAI=∠OAB/2=α
よって、△MPIと△MAIの対応関係を考えると、共通の辺IMを持ち、その対角はαとなります。
これは、同一円周上に頂点を持つ2つの三角形のとなります。
同一円周上の点 → 同一円周上に頂点を持つ三角形
として考えてみましょう。
なお、解説の図を見てもわかりますが、
空欄（ア）で点A、M、I、Lが同一円周上にあったことから、この点Pもその同一円周上に含まれることがわかります。
前フリとしてあった空欄（ア）の話がここで繋がり、数学として面白い点となります。
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