大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問30 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問7)

空欄（イ）〜（オ）

空欄（イ）〜（オ）の解説の画像へのリンク

内接円の半径IMと、内接円に接するOMのなす角は90°ですので、
∠OMI=90°

 

次に、Iが内心であることから、BIは∠OBAの二等分線なので、
∠OBI=∠OBA/2=β

よって△OXBは、

2θ+β+∠OXI=180°
∠OXI=180°-2θ-β

ここでθ＋α＋β＝90°よりβ=90°-θ-αなので
∠OXI=180°-2θ-(90°-θ-α)
=90°+α-θ

となります。

空欄（カ）、（キ）

作図してみると一目瞭然ですが、
OXの長さを求めてみます。

MX≠0(つまり∠OXI≠90°)のとき、

tan∠OXI=MI/MX

MX=MI/tan∠OXI

より
OX=OM+MX

=OM+MI/tan∠OXI

となります。

 

0°<∠OXI<90°のとき(∠OXI=90°+α-θ<90° → α<θ)、
tan∠OXI>0となるためMI/tan∠OXI>0となります。よって、

OX=OM+MI/tan∠OXI>OM
図としては、上記、空欄（イ）〜（オ）で使用した図の形になります。

 

∠OXI=90°のとき(∠OXI=90°+α-θ=90° → α=θ)、

MとXが一致しますので、OX=OMとなります。

 

90°<∠OXI<180°のとき(90°<∠OXI=90°+α-θ → α>θ)、

tan∠OXI<0となるためMI/tan∠OXI<0となります。よって、

OX=OM+MI/tan∠OXI<OM
図としては以下の形になります。

空欄（カ）、（キ）の解説の画像へのリンク

空欄（ク）、（ケ）

空欄（ク）、（ケ）の解説の画像へのリンク

△ONPを考えます。

点Oから延びる内心円への接線との接点がM、Nなので、

OM=ON

よって、△ONPは二等辺三角形なので、

∠ONM=∠OMN

よって、

∠MON+∠ONM+∠OMN=180°

2θ+∠ONM+∠ONM=180°

(∠ONP=)∠ONM=90°-θ

 

∠OBIは、Iが内心なので、BIは∠OBIの二等分線となるので、
(∠OBP=)∠OBI=∠OBA/2=β

空欄（コ）、（サ）

△NPBを考えます。
∠NPB+∠OBP=∠ONP
∠NPB+β=90°-θ

∠NPB=90°-β-θ

このとき、空欄（イ）〜（オ）の問題分にもあったように、θ＋α＋β＝90°なので、90°-β-θ=αとなるので、

∠NPB=α

 

点I、M、Pと同一円周上にある点を考えます。

IMに注目し、△MAIを考えます。
Iが内心であることから、AIは∠OABの二等分線なので、
(∠MAI=)∠OAI=∠OAB/2=α

よって、△MPIと△MAIの対応関係を考えると、共通の辺IMを持ち、その対角はαとなります。

これは、同一円周上に頂点を持つ2つの三角形のとなります。

空欄（ㇱ）、（ス）

空欄（ク）〜（サ）と全く同様に、
∠ONP=90°-θ

∠OBP=β

∠NPB=α

と、∠NPBを求めることができます。

点I、M、P、Aが同一円周上にあるかを考えます。

∠IPM=180°-∠NPB=180°-α

となります。

□IPMAを考えたとき、

∠MAI+∠IPM=α+（180°-α)=180°

となり、同一円周上に頂点を持つ四角形ということがわかります。

θ=32°、α=34°ですので、

β=90°-θ-α=24°

となり、β<θ<αの大小関係となります。

点Pを考えると、θ<αなので、空欄（ㇱ）、（ス）と同じ状況になり、線分MN内に点Pがあることがわかります。
 

点Qは、点Pの挙動と同じでAB反転させた状況であると考えられます。
よって、β<θ(θよりも角度が小さい状況)なので、空欄（コ）、（サ）と同じ状況になり、点Qは線分MNの外側(空欄（コ）、（サ）では、M側の外側でしたが、AB反転させた状況なので、この場合N側の外側)にあることがわかります。

以上をまとめると、M、P、N、Qの順番になります。