大学入学共通テスト(数学) 過去問
令和7年度(2025年度)追・試験
問31 (数学Ⅰ・数学A(第4問) 問1)

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問題

大学入学共通テスト(数学)試験 令和7年度(2025年度)追・試験 問31(数学Ⅰ・数学A(第4問) 問1) (訂正依頼・報告はこちら)

箱の中に、1から6までの自然数が一つずつ書かれた6枚のカードが入っている。ただし、異なるカードには異なる自然数が書かれている。
次の試行Aと試行Bを考える。

試行A
箱の中から2枚のカードを同時に取り出し、書かれている自然数を確認してからもとに戻す。

試行B
箱の中から1枚のカードを取り出し、書かれている自然数を確認してからもとに戻す。

カードを2枚取り出す方法は、試行Aを1回行うことと、試行Bを2回行うことの二つあり、この二つの場合について、花子さんと太郎さんは話をしている。

花子:二人が別々に、試行Aを1回ずつ行う場合を考えてみよう。
太郎:例えば、花子さんが取り出したカードに自然数1、2が書かれていて、私が取り出したカードに自然数2、3が書かれていたら、二人が1個の共通の自然数2を取り出したことになるね。
花子:一般に、二人が取り出す共通の自然数が何個であるときが最も起こりやすいのかな。
太郎:試行Bを2回行う場合と比べてみるとどうなるのかな。

(1)花子さんと太郎さんが別々に、試行Aを1回ずつ行う場合を考える。

(ⅰ)花子さんが試行Aを1回行う場合、2枚のカードの取り出し方は( アイ )通りある。

( アイ )にあてはまるものを一つ選べ。
  • ア:1  イ:0
  • ア:1  イ:5
  • ア:2  イ:0
  • ア:2  イ:5

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この過去問の解説 (3件)

01

6つのものから2つのものを取り出す「組み合わせの数」ですので、
6C2=6・5/(2・1) = 15 通りあり、
ア:1 イ:5 の組み合わせの選択肢が設問(アイ)解答となります。
 

選択肢2. ア:1  イ:5

順番も含めた順列は6・5=30 通りあり、
「組み合わせの数」は順番を区別しないので取り出した 2 つの順列 2・1で割ります。
結果は 15 通りです。

まとめ

n個のものからm個を取り出す組み合わせの数は、nCm= n!/{(n-m)!m!} です。
本設問では n!/(n-m)! が 6・5 =30に該当し、m! が 2・1 =2 に該当します。


! は「階乗」の記号で、
例えば 6!/(4!)= 6・5・4・3・2・1/(4・3・2・1) = 6・5=30 となります。
 

参考になった数0

02

試行Aは6枚のカードの中から2枚のカードを取り出す組み合わせとなります。
このときの組み合わせnCrは、n=6、r=2より
6C2=6!/(2!4!)=(6×5)/(2×1)=15
 

まとめ

組み合わせ nCr=n!/(r!(n-r)!) を、階乗の計算も含め、さっと求めることができるようにしましょう。

参考になった数0

03

解答:15通り

 

解説:

試行Aは6枚のカードから2枚のカードを取り出すという試行です。

その試行を1回行うため、6枚から2枚を選び出す場合の数を求めます。

 

6C2=(6×5)/(2×1)=15

参考になった数0