大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問32 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問2)
問題文
箱の中に、1から6までの自然数が一つずつ書かれた6枚のカードが入っている。ただし、異なるカードには異なる自然数が書かれている。
次の試行Aと試行Bを考える。
試行A
箱の中から2枚のカードを同時に取り出し、書かれている自然数を確認してからもとに戻す。
試行B
箱の中から1枚のカードを取り出し、書かれている自然数を確認してからもとに戻す。
カードを2枚取り出す方法は、試行Aを1回行うことと、試行Bを2回行うことの二つあり、この二つの場合について、花子さんと太郎さんは話をしている。
花子：二人が別々に、試行Aを1回ずつ行う場合を考えてみよう。
太郎：例えば、花子さんが取り出したカードに自然数1、2が書かれていて、私が取り出したカードに自然数2、3が書かれていたら、二人が1個の共通の自然数2を取り出したことになるね。
花子：一般に、二人が取り出す共通の自然数が何個であるときが最も起こりやすいのかな。
太郎：試行Bを2回行う場合と比べてみるとどうなるのかな。
（1）花子さんと太郎さんが別々に、試行Aを1回ずつ行う場合を考える。
（ⅱ）花子さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数だけを要素にもつ集合をEとし、太郎さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数だけを要素にもつ集合をFとする。
例えば、花子さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数が5と6であるとき、E＝｛5，6｝である。
以下、集合E∩Fの要素がないという事象をA0とし、集合E∩Fの要素の個数が1個、2個であるという事象をそれぞれA1,A2とする。
事象A2が起こる確率P（A2）は（ ウ ）／（ エオ ）である。
また,事象A0が起こる確率P（A0）は（ カ ）／（ キ ）である。
（ ウ ），（ エオ ）にあてはまるものを一つ選べ。
次の試行Aと試行Bを考える。
試行A
箱の中から2枚のカードを同時に取り出し、書かれている自然数を確認してからもとに戻す。
試行B
箱の中から1枚のカードを取り出し、書かれている自然数を確認してからもとに戻す。
カードを2枚取り出す方法は、試行Aを1回行うことと、試行Bを2回行うことの二つあり、この二つの場合について、花子さんと太郎さんは話をしている。
花子：二人が別々に、試行Aを1回ずつ行う場合を考えてみよう。
太郎：例えば、花子さんが取り出したカードに自然数1、2が書かれていて、私が取り出したカードに自然数2、3が書かれていたら、二人が1個の共通の自然数2を取り出したことになるね。
花子：一般に、二人が取り出す共通の自然数が何個であるときが最も起こりやすいのかな。
太郎：試行Bを2回行う場合と比べてみるとどうなるのかな。
（1）花子さんと太郎さんが別々に、試行Aを1回ずつ行う場合を考える。
（ⅱ）花子さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数だけを要素にもつ集合をEとし、太郎さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数だけを要素にもつ集合をFとする。
例えば、花子さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数が5と6であるとき、E＝｛5，6｝である。
以下、集合E∩Fの要素がないという事象をA0とし、集合E∩Fの要素の個数が1個、2個であるという事象をそれぞれA1,A2とする。
事象A2が起こる確率P（A2）は（ ウ ）／（ エオ ）である。
また,事象A0が起こる確率P（A0）は（ カ ）／（ キ ）である。
（ ウ ），（ エオ ）にあてはまるものを一つ選べ。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）追・試験 問32（数学Ⅰ・数学A（第4問） 問2） （訂正依頼・報告はこちら）
箱の中に、1から6までの自然数が一つずつ書かれた6枚のカードが入っている。ただし、異なるカードには異なる自然数が書かれている。
次の試行Aと試行Bを考える。
試行A
箱の中から2枚のカードを同時に取り出し、書かれている自然数を確認してからもとに戻す。
試行B
箱の中から1枚のカードを取り出し、書かれている自然数を確認してからもとに戻す。
カードを2枚取り出す方法は、試行Aを1回行うことと、試行Bを2回行うことの二つあり、この二つの場合について、花子さんと太郎さんは話をしている。
花子：二人が別々に、試行Aを1回ずつ行う場合を考えてみよう。
太郎：例えば、花子さんが取り出したカードに自然数1、2が書かれていて、私が取り出したカードに自然数2、3が書かれていたら、二人が1個の共通の自然数2を取り出したことになるね。
花子：一般に、二人が取り出す共通の自然数が何個であるときが最も起こりやすいのかな。
太郎：試行Bを2回行う場合と比べてみるとどうなるのかな。
（1）花子さんと太郎さんが別々に、試行Aを1回ずつ行う場合を考える。
（ⅱ）花子さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数だけを要素にもつ集合をEとし、太郎さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数だけを要素にもつ集合をFとする。
例えば、花子さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数が5と6であるとき、E＝｛5，6｝である。
以下、集合E∩Fの要素がないという事象をA0とし、集合E∩Fの要素の個数が1個、2個であるという事象をそれぞれA1,A2とする。
事象A2が起こる確率P（A2）は（ ウ ）／（ エオ ）である。
また,事象A0が起こる確率P（A0）は（ カ ）／（ キ ）である。
（ ウ ），（ エオ ）にあてはまるものを一つ選べ。
次の試行Aと試行Bを考える。
試行A
箱の中から2枚のカードを同時に取り出し、書かれている自然数を確認してからもとに戻す。
試行B
箱の中から1枚のカードを取り出し、書かれている自然数を確認してからもとに戻す。
カードを2枚取り出す方法は、試行Aを1回行うことと、試行Bを2回行うことの二つあり、この二つの場合について、花子さんと太郎さんは話をしている。
花子：二人が別々に、試行Aを1回ずつ行う場合を考えてみよう。
太郎：例えば、花子さんが取り出したカードに自然数1、2が書かれていて、私が取り出したカードに自然数2、3が書かれていたら、二人が1個の共通の自然数2を取り出したことになるね。
花子：一般に、二人が取り出す共通の自然数が何個であるときが最も起こりやすいのかな。
太郎：試行Bを2回行う場合と比べてみるとどうなるのかな。
（1）花子さんと太郎さんが別々に、試行Aを1回ずつ行う場合を考える。
（ⅱ）花子さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数だけを要素にもつ集合をEとし、太郎さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数だけを要素にもつ集合をFとする。
例えば、花子さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数が5と6であるとき、E＝｛5，6｝である。
以下、集合E∩Fの要素がないという事象をA0とし、集合E∩Fの要素の個数が1個、2個であるという事象をそれぞれA1,A2とする。
事象A2が起こる確率P（A2）は（ ウ ）／（ エオ ）である。
また,事象A0が起こる確率P（A0）は（ カ ）／（ キ ）である。
（ ウ ），（ エオ ）にあてはまるものを一つ選べ。
- ウ：1 エオ：15
- ウ：2 エオ：15
- ウ：3 エオ：13
- ウ：4 エオ：13
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この過去問の解説 （3件）
01
起こり得る全ての場合の数は、6C2・6C2 （＝152=225） 通りです。
事象 A2 が起きる時とは、
例えば最初に (1, 2) の組み合わせで、次も同じ(1, 2) の組み合わせの場合であり、
１回の試行での組み合わせの数に等しいものとなります。
よって、事象A2が起きる確率は 6C2/(6C2)2 = 1/6C2 = 1/15
ウ：1 エオ：15 の組み合わせの選択肢が解答となります。
設問（アイ）より
事象 A2 が起きる時には、2回目の試行の時に1回目と同じ組み合わせのものが出ないといけません。
その場合の数は「１回目にあり得る場合 6C2通り」に「続けて行う2回目にあり得る場合 1通り」を掛けた数となり、
確率は起こり得る全ての場合の数で割って
6C2/(6C2)2 = 1/6C2 = 1/15 となります。
確率は「ある事象の起こり得る場合の数」/「全ての起こり得る場合の数」で計算できます。
これは「ある事象の要素の個数」/「全事象の個数」と言い直しても同じです。
本設問では設問（アイ）に引き続き、「組み合わせの数」nCm を使います。
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02
空欄（ア）、（イ）
起こりうるすべての事象Uは、花子さんと太郎さんがそれぞれ試行Aを行うので、このときの場合の数n(U)は、
n(U)=6C2・6C2
集合E∩Fの要素の個数が2個であるという事象A2は、花子さんが取り出した2枚のカードと全く同じ2枚のカードを太郎さんが引くことになるため、このときの場合の数n(A2)は、
n(A2)=6C2・2C2
以上より、事象A2が起こる確率P(A2)は
P(A2)=n(A2)/n(U)
=(6C2・2C2)/(6C2・6C2)
=2C2/6C2
=1/15
事象Aが起こる確率 P(A)=n(A)/n(U) より、
起こりうるすべての事象Uの場合の数n(U)と
事象Aが起こる場合の数n(A)に明確に分けて、
丁寧に場合の数を求め、確率を求めましょう。
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03
解答：1/15
解説：
試行Aを1回行う場合の数は6C2=15通りであり、
花子さんと太郎さんそれぞれ15通りであるため、
全体の場合の数としては152通りです。
事象A2が起こる場合、
花子さんが引いた組み合わせと太郎さんが引いた組み合わせが一致する時であり、
これは花子さんが取り出す組み合わせと同じ数だけあるため、15通りです。
したがって、求める確率（P（A2））は以下のように計算できます。
P（A2）=15/(15×15)=1/15
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