大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問34 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問4)

問題文もヒントにしながら題意を読み解きます。
（「例えば、花子さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数がどちらも6であるとき、G＝｛6｝である。」）

事象B₂ すなわち「集合G∩Hの要素が2個である」という事は、
まず最初の2回（「花子さんが取り出す2枚のカード」）においては、

同じ番号のカードが続けて出てはいけません。

そのため 6・5 (=30) 通りの場合があります。
（問題文の式で書くと例えば G ={1, 2}などの場合です。それに対して、例えば1が連続で出た場合の G＝｛1｝ではいけません。）

続く3回目と4回目の試行（「太郎さんが取り出す2枚のカード」）は、
例えば最初の1回目と2回目において G ={1, 2} であれば、

同じく 番号1と番号2が出なければいけません。（問題文の式で書くと H={1, 2}です。）
ただし、その組み合わせが起こる場合は 2通りあります。
ここでの例では番号1が3回目に出る場合と、4回目に出る場合の2通りです。

したがって、事象B₂ が起こる場合の数は 6・5・2 通りです。

他方で全ての起こり得る場合の数は、

6つのカードを1枚取り出す試行が4回続けて行われているので 6⁴通りあります。
 

よって、事象B₂が起きる確率は
6・5・2/6⁴= 5・2/6³ = 5/(36・3) = 5/108

ク：5　ケコサ：108 の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
 

花子さんと太郎さんが別々に試行Bを2回ずつ行うとき、起こりうるすべての事象U_Bの場合の数n(U_B)は、
n(U_B)=(₆C₁・₆C₁)・(₆C₁・₆C₁)

次に集合G∩Hの要素の個数が2個であるという事象B₂を考えます。

花子さん1回目 ... 場合の数は₆C₁

花子さん2回目 ... G∩Hの要素数が2になるためには、花子さんの1回目の数以外のカードである必要があるので、場合の数は₅C₁

太郎くん1回目 ... 花子さんが取り出した2枚のカードと同じカードとなるので、場合の数は₂C₁

太郎くん2回目 ... 花子さんが取り出した2枚のカードのうち、太郎くんの1回目の数以外の残りのカードである必要があるので、場合の数は₁C₁
よって、事象B₂の場合の数n(B₂)は、

n(B₂)=(₆C₁・₅C₁)・(₂C₁・₁C₁)
以上より、事象B₂が起こる確率P(B₂)は、
P(B₂)=n(B₂)/n(U_B)
=((₆C₁・₅C₁)・(₂C₁・₁C₁))/((₆C₁・₆C₁)・(₆C₁・₆C₁))

=(₅C₁・₂C₁)/(₆C₁)³

=(5✕2)/(6)³
=5/108

解答：5/108

解説：

試行Bを2回行うときの場合の数は6²=36通りであり、

事象B₂が起こる場合、集合の要素が2種類必要であるため、

1、2の組み合わせを取り出す場合（1,2）（2,1）の2通りあります。

そのため、花子さん、太郎さんどちらの確率も2/6²になります。

また、数字の組み合わせとしては、

（全体の場合の数）－（同じ数字を取り出す場合の数）/2です。

ここで2で割る理由は、同じ数字を取り出す組み合わせがあるためです。

これらを考慮すると以下の式になります。

P（B₂）=（2/6²）×（2/6²）×（36－6）/2=5/108