大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問35 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問5)
問題文
箱の中に、1から6までの自然数が一つずつ書かれた6枚のカードが入っている。ただし、異なるカードには異なる自然数が書かれている。
次の試行Aと試行Bを考える。
試行A
箱の中から2枚のカードを同時に取り出し、書かれている自然数を確認してからもとに戻す。
試行B
箱の中から1枚のカードを取り出し、書かれている自然数を確認してからもとに戻す。
カードを2枚取り出す方法は、試行Aを1回行うことと、試行Bを2回行うことの二つあり、この二つの場合について、花子さんと太郎さんは話をしている。
花子：二人が別々に、試行Aを1回ずつ行う場合を考えてみよう。
太郎：例えば、花子さんが取り出したカードに自然数1、2が書かれていて、私が取り出したカードに自然数2、3が書かれていたら、二人が1個の共通の自然数2を取り出したことになるね。
花子：一般に、二人が取り出す共通の自然数が何個であるときが最も起こりやすいのかな。
太郎：試行Bを2回行う場合と比べてみるとどうなるのかな。
（2）花子さんと太郎さんが別々に、試行Bを2回ずつ行う場合を考える。
花子さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数だけを要素にもつ集合をGとし、太郎さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数だけを要素にもつ集合をHとする。
例えば、花子さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数がどちらも6であるとき、G＝｛6｝である。
以下、集合G∩Hの要素がないという事象をB0とし、集合G∩Hの要素の個数が1個、2個であるという事象をそれぞれB1、B2とする。
（ⅱ）花子さんと太郎さんは、事象B0が起こる確率P（B0）の求め方について考えている。
花子：事象B0を、私が2回とも同じ自然数が書かれたカードを取り出す場合とそうでない場合に分けて考えたらどうかな。
太郎：その二つの事象は決して同時に起こらないね。
花子さんが2回とも同じ自然数が書かれたカードを取り出し、かつ事象B0が起こる確率は（ シス ）／（ セソタ ）である。
また、確率P（B0）は（ チツ ）／（ テト ）である。
（ シス ），（ セソタ ）にあてはまるものを一つ選べ。
次の試行Aと試行Bを考える。
試行A
箱の中から2枚のカードを同時に取り出し、書かれている自然数を確認してからもとに戻す。
試行B
箱の中から1枚のカードを取り出し、書かれている自然数を確認してからもとに戻す。
カードを2枚取り出す方法は、試行Aを1回行うことと、試行Bを2回行うことの二つあり、この二つの場合について、花子さんと太郎さんは話をしている。
花子：二人が別々に、試行Aを1回ずつ行う場合を考えてみよう。
太郎：例えば、花子さんが取り出したカードに自然数1、2が書かれていて、私が取り出したカードに自然数2、3が書かれていたら、二人が1個の共通の自然数2を取り出したことになるね。
花子：一般に、二人が取り出す共通の自然数が何個であるときが最も起こりやすいのかな。
太郎：試行Bを2回行う場合と比べてみるとどうなるのかな。
（2）花子さんと太郎さんが別々に、試行Bを2回ずつ行う場合を考える。
花子さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数だけを要素にもつ集合をGとし、太郎さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数だけを要素にもつ集合をHとする。
例えば、花子さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数がどちらも6であるとき、G＝｛6｝である。
以下、集合G∩Hの要素がないという事象をB0とし、集合G∩Hの要素の個数が1個、2個であるという事象をそれぞれB1、B2とする。
（ⅱ）花子さんと太郎さんは、事象B0が起こる確率P（B0）の求め方について考えている。
花子：事象B0を、私が2回とも同じ自然数が書かれたカードを取り出す場合とそうでない場合に分けて考えたらどうかな。
太郎：その二つの事象は決して同時に起こらないね。
花子さんが2回とも同じ自然数が書かれたカードを取り出し、かつ事象B0が起こる確率は（ シス ）／（ セソタ ）である。
また、確率P（B0）は（ チツ ）／（ テト ）である。
（ シス ），（ セソタ ）にあてはまるものを一つ選べ。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）追・試験 問35（数学Ⅰ・数学A（第4問） 問5） （訂正依頼・報告はこちら）
箱の中に、1から6までの自然数が一つずつ書かれた6枚のカードが入っている。ただし、異なるカードには異なる自然数が書かれている。
次の試行Aと試行Bを考える。
試行A
箱の中から2枚のカードを同時に取り出し、書かれている自然数を確認してからもとに戻す。
試行B
箱の中から1枚のカードを取り出し、書かれている自然数を確認してからもとに戻す。
カードを2枚取り出す方法は、試行Aを1回行うことと、試行Bを2回行うことの二つあり、この二つの場合について、花子さんと太郎さんは話をしている。
花子：二人が別々に、試行Aを1回ずつ行う場合を考えてみよう。
太郎：例えば、花子さんが取り出したカードに自然数1、2が書かれていて、私が取り出したカードに自然数2、3が書かれていたら、二人が1個の共通の自然数2を取り出したことになるね。
花子：一般に、二人が取り出す共通の自然数が何個であるときが最も起こりやすいのかな。
太郎：試行Bを2回行う場合と比べてみるとどうなるのかな。
（2）花子さんと太郎さんが別々に、試行Bを2回ずつ行う場合を考える。
花子さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数だけを要素にもつ集合をGとし、太郎さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数だけを要素にもつ集合をHとする。
例えば、花子さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数がどちらも6であるとき、G＝｛6｝である。
以下、集合G∩Hの要素がないという事象をB0とし、集合G∩Hの要素の個数が1個、2個であるという事象をそれぞれB1、B2とする。
（ⅱ）花子さんと太郎さんは、事象B0が起こる確率P（B0）の求め方について考えている。
花子：事象B0を、私が2回とも同じ自然数が書かれたカードを取り出す場合とそうでない場合に分けて考えたらどうかな。
太郎：その二つの事象は決して同時に起こらないね。
花子さんが2回とも同じ自然数が書かれたカードを取り出し、かつ事象B0が起こる確率は（ シス ）／（ セソタ ）である。
また、確率P（B0）は（ チツ ）／（ テト ）である。
（ シス ），（ セソタ ）にあてはまるものを一つ選べ。
次の試行Aと試行Bを考える。
試行A
箱の中から2枚のカードを同時に取り出し、書かれている自然数を確認してからもとに戻す。
試行B
箱の中から1枚のカードを取り出し、書かれている自然数を確認してからもとに戻す。
カードを2枚取り出す方法は、試行Aを1回行うことと、試行Bを2回行うことの二つあり、この二つの場合について、花子さんと太郎さんは話をしている。
花子：二人が別々に、試行Aを1回ずつ行う場合を考えてみよう。
太郎：例えば、花子さんが取り出したカードに自然数1、2が書かれていて、私が取り出したカードに自然数2、3が書かれていたら、二人が1個の共通の自然数2を取り出したことになるね。
花子：一般に、二人が取り出す共通の自然数が何個であるときが最も起こりやすいのかな。
太郎：試行Bを2回行う場合と比べてみるとどうなるのかな。
（2）花子さんと太郎さんが別々に、試行Bを2回ずつ行う場合を考える。
花子さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数だけを要素にもつ集合をGとし、太郎さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数だけを要素にもつ集合をHとする。
例えば、花子さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数がどちらも6であるとき、G＝｛6｝である。
以下、集合G∩Hの要素がないという事象をB0とし、集合G∩Hの要素の個数が1個、2個であるという事象をそれぞれB1、B2とする。
（ⅱ）花子さんと太郎さんは、事象B0が起こる確率P（B0）の求め方について考えている。
花子：事象B0を、私が2回とも同じ自然数が書かれたカードを取り出す場合とそうでない場合に分けて考えたらどうかな。
太郎：その二つの事象は決して同時に起こらないね。
花子さんが2回とも同じ自然数が書かれたカードを取り出し、かつ事象B0が起こる確率は（ シス ）／（ セソタ ）である。
また、確率P（B0）は（ チツ ）／（ テト ）である。
（ シス ），（ セソタ ）にあてはまるものを一つ選べ。
- シス：25 セソタ：216
- シス：26 セソタ：217
- シス：31 セソタ：316
- シス：32 セソタ：317
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この過去問の解説 （3件）
01
起こり得る全ての場合の数は、前問（ク）～（サ）と同じく 64 通りです。
本設問では、まず最初の1回目と2回目で同じ番号（問題文の「自然数」）が出た場合を考えます。
その時に1回目と2回目で起こり得る場合の数は 6 通りしかありません。
続いて、同時に「事象B0」が起きるためには、
3回目と4回目の試行において、1回目と2回目に出た番号と異なるものが続けて出る必要があります。
この場合には3回目と4回目で同じ番号が出てもよく、 52 (=25)通りあり得ます。
（例えば1回目と2回目で1が出た時、3回目と4回目の組は例えば(2,3)でも(3,2)でも(2,2)でもよい事になります。）
したがって、
「花子さんが2回とも同じ自然数が書かれたカードを取り出し、かつ事象B0が起こる確率」は
6・25/64 = 25/63 =25/216 となります。
シス：25 セソタ：216 の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
上記の計算で確率を求める場合、63 (=216)までは直接計算が必要ですが 64 は直接計算しなくてよい事になります。
問題文では「太郎さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数だけを要素にもつ集合をHとする」とあり、
順番を問わず例えば 2 と 3 出たら H={2,3} と書く事になっているため、
上記では順番を含めた番号の組は (2,3) (3,2) (2,2)のように記しました。
これらの場合は G（「花子さん」のカードの番号） の要素と異なる時に、いずれも 52 = 25 通りの中に含まれます。
確率の分母が 64 を割った自然数になるので、この選択肢の分母の部分の 217 はあり得ない事になります。
ここでも前問と同じく、
事象が起こり得る場合の数を、起こり得る全ての場合の数で割る方法で計算しました。
計算の方法は１通りではありません。
設問（ウ）～（オ）のまとめより
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02
空欄（ク）〜（サ）
花子さんが2回とも同じ自然数が書かれたカードを取り出し、かつ事象B0が起こる場合（事象B0')を考えます。
花子さん1回目 ... 場合の数は6C1
花子さん2回目 ... 花子さんが2回とも同じ自然数が書かれたカードを取り出すので、場合の数は1C1
太郎くん1回目 ... 花子さんが出した１つの自然数と異なるカードとなるので、場合の数は5C1
太郎くん2回目 ... 太郎くん1回目と同じく、花子さんが出した１つの自然数と異なるカードとなるので、場合の数は5C1
よって、事象B0'の場合の数n(B0')は、
n(B0')=(6C1・1C1)・(5C1・5C1)
以上より、事象B0'が起こる確率P(B0')は、
P(B0')=n(B0')/n(UB)
=((6C1・1C1)・(5C1・5C1))/((6C1・6C1)・(6C1・6C1))
=(5C1)2/(6C1)3
=(5)2/(6)3
=25/216
事象Bが起こる確率 P(B)=n(B)/n(UB) より、
起こりうるすべての事象UBの場合の数n(UB)と
事象Bが起こる場合の数n(B)に明確に分け、
また、その中でも花子さん、太郎くんそれぞれの2回目のカードに当てはまる条件を考え、
丁寧に場合の数を求め、確率を求めましょう。
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03
解答：25/216
解説：
まず、花子さんが2回とも同じ自然数のカードを取り出す確率は、
（6/6）×（1/6）=1/6です。
このとき、太郎さんは花子さんが取り出さなかった5枚から取り出すため、
（5/6）2=25/36
よって、この時の確率は以下のように表せます。
（1/6）×（25/36）=25/216
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