大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問36 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問6)
問題文
箱の中に、1から6までの自然数が一つずつ書かれた6枚のカードが入っている。ただし、異なるカードには異なる自然数が書かれている。
次の試行Aと試行Bを考える。
試行A
箱の中から2枚のカードを同時に取り出し、書かれている自然数を確認してからもとに戻す。
試行B
箱の中から1枚のカードを取り出し、書かれている自然数を確認してからもとに戻す。
カードを2枚取り出す方法は、試行Aを1回行うことと、試行Bを2回行うことの二つあり、この二つの場合について、花子さんと太郎さんは話をしている。
花子：二人が別々に、試行Aを1回ずつ行う場合を考えてみよう。
太郎：例えば、花子さんが取り出したカードに自然数1、2が書かれていて、私が取り出したカードに自然数2、3が書かれていたら、二人が1個の共通の自然数2を取り出したことになるね。
花子：一般に、二人が取り出す共通の自然数が何個であるときが最も起こりやすいのかな。
太郎：試行Bを2回行う場合と比べてみるとどうなるのかな。
（2）花子さんと太郎さんが別々に、試行Bを2回ずつ行う場合を考える。
花子さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数だけを要素にもつ集合をGとし、太郎さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数だけを要素にもつ集合をHとする。
例えば、花子さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数がどちらも6であるとき、G＝｛6｝である。
以下、集合G∩Hの要素がないという事象をB0とし、集合G∩Hの要素の個数が1個、2個であるという事象をそれぞれB1、B2とする。
（ⅱ）花子さんと太郎さんは、事象B0が起こる確率P（B0）の求め方について考えている。
花子：事象B0を、私が2回とも同じ自然数が書かれたカードを取り出す場合とそうでない場合に分けて考えたらどうかな。
太郎：その二つの事象は決して同時に起こらないね。
花子さんが2回とも同じ自然数が書かれたカードを取り出し、かつ事象B0が起こる確率は（ シス ）／（ セソタ ）である。
また、確率P（B0）は（ チツ ）／（ テト ）である。
（ チツ ），（ テト ）にあてはまるものを一つ選べ。
次の試行Aと試行Bを考える。
試行A
箱の中から2枚のカードを同時に取り出し、書かれている自然数を確認してからもとに戻す。
試行B
箱の中から1枚のカードを取り出し、書かれている自然数を確認してからもとに戻す。
カードを2枚取り出す方法は、試行Aを1回行うことと、試行Bを2回行うことの二つあり、この二つの場合について、花子さんと太郎さんは話をしている。
花子：二人が別々に、試行Aを1回ずつ行う場合を考えてみよう。
太郎：例えば、花子さんが取り出したカードに自然数1、2が書かれていて、私が取り出したカードに自然数2、3が書かれていたら、二人が1個の共通の自然数2を取り出したことになるね。
花子：一般に、二人が取り出す共通の自然数が何個であるときが最も起こりやすいのかな。
太郎：試行Bを2回行う場合と比べてみるとどうなるのかな。
（2）花子さんと太郎さんが別々に、試行Bを2回ずつ行う場合を考える。
花子さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数だけを要素にもつ集合をGとし、太郎さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数だけを要素にもつ集合をHとする。
例えば、花子さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数がどちらも6であるとき、G＝｛6｝である。
以下、集合G∩Hの要素がないという事象をB0とし、集合G∩Hの要素の個数が1個、2個であるという事象をそれぞれB1、B2とする。
（ⅱ）花子さんと太郎さんは、事象B0が起こる確率P（B0）の求め方について考えている。
花子：事象B0を、私が2回とも同じ自然数が書かれたカードを取り出す場合とそうでない場合に分けて考えたらどうかな。
太郎：その二つの事象は決して同時に起こらないね。
花子さんが2回とも同じ自然数が書かれたカードを取り出し、かつ事象B0が起こる確率は（ シス ）／（ セソタ ）である。
また、確率P（B0）は（ チツ ）／（ テト ）である。
（ チツ ），（ テト ）にあてはまるものを一つ選べ。
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問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）追・試験 問36（数学Ⅰ・数学A（第4問） 問6） （訂正依頼・報告はこちら）
箱の中に、1から6までの自然数が一つずつ書かれた6枚のカードが入っている。ただし、異なるカードには異なる自然数が書かれている。
次の試行Aと試行Bを考える。
試行A
箱の中から2枚のカードを同時に取り出し、書かれている自然数を確認してからもとに戻す。
試行B
箱の中から1枚のカードを取り出し、書かれている自然数を確認してからもとに戻す。
カードを2枚取り出す方法は、試行Aを1回行うことと、試行Bを2回行うことの二つあり、この二つの場合について、花子さんと太郎さんは話をしている。
花子：二人が別々に、試行Aを1回ずつ行う場合を考えてみよう。
太郎：例えば、花子さんが取り出したカードに自然数1、2が書かれていて、私が取り出したカードに自然数2、3が書かれていたら、二人が1個の共通の自然数2を取り出したことになるね。
花子：一般に、二人が取り出す共通の自然数が何個であるときが最も起こりやすいのかな。
太郎：試行Bを2回行う場合と比べてみるとどうなるのかな。
（2）花子さんと太郎さんが別々に、試行Bを2回ずつ行う場合を考える。
花子さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数だけを要素にもつ集合をGとし、太郎さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数だけを要素にもつ集合をHとする。
例えば、花子さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数がどちらも6であるとき、G＝｛6｝である。
以下、集合G∩Hの要素がないという事象をB0とし、集合G∩Hの要素の個数が1個、2個であるという事象をそれぞれB1、B2とする。
（ⅱ）花子さんと太郎さんは、事象B0が起こる確率P（B0）の求め方について考えている。
花子：事象B0を、私が2回とも同じ自然数が書かれたカードを取り出す場合とそうでない場合に分けて考えたらどうかな。
太郎：その二つの事象は決して同時に起こらないね。
花子さんが2回とも同じ自然数が書かれたカードを取り出し、かつ事象B0が起こる確率は（ シス ）／（ セソタ ）である。
また、確率P（B0）は（ チツ ）／（ テト ）である。
（ チツ ），（ テト ）にあてはまるものを一つ選べ。
次の試行Aと試行Bを考える。
試行A
箱の中から2枚のカードを同時に取り出し、書かれている自然数を確認してからもとに戻す。
試行B
箱の中から1枚のカードを取り出し、書かれている自然数を確認してからもとに戻す。
カードを2枚取り出す方法は、試行Aを1回行うことと、試行Bを2回行うことの二つあり、この二つの場合について、花子さんと太郎さんは話をしている。
花子：二人が別々に、試行Aを1回ずつ行う場合を考えてみよう。
太郎：例えば、花子さんが取り出したカードに自然数1、2が書かれていて、私が取り出したカードに自然数2、3が書かれていたら、二人が1個の共通の自然数2を取り出したことになるね。
花子：一般に、二人が取り出す共通の自然数が何個であるときが最も起こりやすいのかな。
太郎：試行Bを2回行う場合と比べてみるとどうなるのかな。
（2）花子さんと太郎さんが別々に、試行Bを2回ずつ行う場合を考える。
花子さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数だけを要素にもつ集合をGとし、太郎さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数だけを要素にもつ集合をHとする。
例えば、花子さんが取り出した2枚のカードに書かれた自然数がどちらも6であるとき、G＝｛6｝である。
以下、集合G∩Hの要素がないという事象をB0とし、集合G∩Hの要素の個数が1個、2個であるという事象をそれぞれB1、B2とする。
（ⅱ）花子さんと太郎さんは、事象B0が起こる確率P（B0）の求め方について考えている。
花子：事象B0を、私が2回とも同じ自然数が書かれたカードを取り出す場合とそうでない場合に分けて考えたらどうかな。
太郎：その二つの事象は決して同時に起こらないね。
花子さんが2回とも同じ自然数が書かれたカードを取り出し、かつ事象B0が起こる確率は（ シス ）／（ セソタ ）である。
また、確率P（B0）は（ チツ ）／（ テト ）である。
（ チツ ），（ テト ）にあてはまるものを一つ選べ。
- チツ：33 テト：70
- チツ：35 テト：72
- チツ：43 テト：80
- チツ：45 テト：82
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この過去問の解説 （3件）
01
前設問（シ）～（タ）の結果の確率と、
排反であるもう１つの事象の確率を足し合わせる事で本設問の解答が得られます。
前設問（シ）～（タ）の事象：「花子さんが」「2回とも同じ自然数が書かれたカードを取り出す場合」
排反であるもう１つの事象：「そうでない場合」
1回目と2回目に同じ番号（問題文「自然数」）のカードが出ない場合の数は、
6・5 (= 30) 通りです。
続いて B0 が起きるためには3回目の試行で1,2回目と異なる 4 通りの番号が出る必要があり、
4回目の試行でも同じく4通りの番号の出方があります。 したがって3回目と4回目では42 (=16) 通りがあり得ます。
（3回目と4回目の試行では同じ番号が出てもよい事になります。排反な事象として考えているのは「花子さんが」「2回とも同じ自然数が書かれたカードを取り出す場合」と「そうでない場合」であるからです。）
以上から、前設問（シ）～（タ）の事象と排反である事象が起きる場合の数は
6・5・42 通りであり、確率は 6・5・42/64 通りです。
これに前設問（シ）～（タ）の結果の確率を加えると、
事象B0が起きる確率は、
(6・25 + 6・5・42)/64 = (25 + 80)/63
=105/216 = 35/72
チツ：35 テト：72 の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。
前設問（シ）～（タ）
本設問では互いに排反な2つの事象に対して、
起こり得る全ての場合の数が同じであり、計算の整理前の2つの確率の分母は同じです。
そのため、(6・25 + 6・5・42)/64 =・・・として計算しています。
公式にそのまま当てはめて式を書くなら、
(6・25)/64 + (6・5・42)/64 = ・・・として計算します。
本設問でも分母の 64 は直接計算しなくてよく、63 まで直接計算できていれば解答を求められます。
問題文の「太郎：その二つの事象は決して同時に起こらないね」は、２つの事象が排反である事を言っています。
確率の場合は、互いに排反である事象を単一事象と見なす時には互いの確率を加える事で計算ができます。
式で書くと、
「事象Aと事象Bが互いに排反である時には P(A∪B) = P(A) + P(B) 」です。
（「事象Aと事象Bが独立の時に P(A∩B)=P(A)P(B) 」の公式と混同しないようにしましょう。）
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02
空欄（ク）〜（サ）
空欄（シ）〜（タ）
花子さんが2回とも異なる自然数が書かれたカードを取り出し、かつ事象B0が起こる場合（事象B0'')を考えます。
花子さん1回目 ... 場合の数は6C1
花子さん2回目 ... 花子さんが1回目と異なる自然数が書かれたカードを取り出すので、場合の数は5C1
太郎くん1回目 ... 花子さんが出した2つの自然数と異なるカードとなるので、場合の数は4C1
太郎くん2回目 ... 太郎くん1回目と同じく、花子さんが出した2つの自然数と異なるカードとなるので、場合の数は4C1
よって、事象B0''の場合の数n(B0'')は、
n(B0'')=(6C1・5C1)・(4C1・4C1)
以上より、事象B0''が起こる確率P(B0'')は、
P(B0'')=n(B0'')/n(UB)
=((6C1・5C1)・(4C1・4C1))/((6C1・6C1)・(6C1・6C1))
=((5C1)・(4C1)2)/(6C1)3
=(5✕(4)2)/(6)3
=80/216
以上から、確率P(B0)は
P(B0)=P(B0')+P(B0'')
=25/216+80/216
=105/216
=35/72
事象Bが起こる確率 P(B)=n(B)/n(UB) より、
起こりうるすべての事象UBの場合の数n(UB)と
事象Bが起こる場合の数n(B)に明確に分け、
また、その中でも花子さん、太郎くんそれぞれの2回目のカードに当てはまる条件を考え、
丁寧に場合の数を求め、確率を求めましょう。
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03
解答：35/72
解説：
まず、花子さんが2回とも同じ自然数のカードを取り出す場合に事象B0が起こる確率を求めます。
花子さんが2回とも同じ自然数のカードを取り出す確率は、
（6/6）×（1/6）=1/6です。
このとき、太郎さんは花子さんが取り出さなかった5枚から取り出すため、
（5/6）2=25/36
よって、この時の確率は以下のように表せます。
（1/6）×（25/36）=25/216
次に、花子さんが2回とも同じ自然数のカードを取り出さない場合に事象B0が起こる確率を求めます。
花子さんが2回とも違うカードを取り出す確率は、
（6/6）×（5/6）=5/6
このとき、太郎さんは花子さんが取り出さなかった4枚から取り出すため、
（4/6）2=16/36
よって、このときの確率は以下のように表せます。
（5/6）×（16/36）=80/216
これらの合計が今回求める確率です。
25/216+80/216=105/216=35/72
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