大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問37 (数学Ⅰ・数学A（第4問） 問7)

事象A₀が起きる確率：設問（カ）（キ）より 2/5 (=6/15)
事象A₂が起きる確率：設問（ウ）～（オ）より 1/15
事象A₁ は設問で未計算ですが、
起こり得る事象が 3 つしかないので A₁ が起きる確率は
1- 2/5-1/15 =(15 - 6 - 1) = 8/15
よって、これら3つの確率のうち最大のものは A₁ が起きる確率であり、問題文の記号では P(A₁) です。

B₀, B₁, B₂ も同様に考える事ができます。
事象B₀が起きる確率：設問（シ）～（ト）より35/72 (= 105/216)
事象B₂が起きる確率：設問（ク）～（サ）より 5/108 (= 10/216) 
事象B₁ は設問で未計算ですが、
起こり得る事象が 3 つしかないので B₁ が起きる確率は
1 - 35/72 - 5/108 = (216 - 105 -10)/216 = 101/216
よって、これら3つの確率のうち最大のものは B₀ が起きる確率であり、問題文の記号では P(B₀) です。

以上から、
ナ：P(A₁)  ニ：P(B₀)  の組み合わせの選択肢が本設問の解答となります。

（ウ）～（オ）

起こり得る全ての場合の数は、₆C₂・₆C₂ （＝15²=225） 通りです。
事象 A₂ が起きる時とは、
例えば最初に (1, 2) の組み合わせで、次も同じ(1, 2) の組み合わせの場合であり、
１回の試行での組み合わせの数に等しいものとなります。
よって、事象A₂が起きる確率は ₆C₂/(₆C₂)² = 1/₆C₂ = 1/15

設問（カ）（キ）

「事象A₀」に相当する「集合E∩Fの要素がない」場合とは、

１回目に取り出した２枚と、２回目で取り出した２枚に共通の番号（問題文の「自然数」）が１つもない事を指します。

したがって事象A₀ が起きる場合とは、
例えば最初の6枚から2枚取り出したものが (1, 2) の組み合わせで、

次の試行では同じものが１つも出てはいけないので4枚のカードの組み合わせである場合です。

そのような場合の数は ₆C₂・₄C₂ 通りです。
 

他方、設問（ウ）～（オ）でも見たように、全ての起こり得る場合の数は(₆C₂)²通りです。
よって、事象A₀が起きる確率は
₆C₂・₄C₂/(₆C₂)² = ₄C₂/₆C₂ = (４・３/2・1) / 15 = 6/15 = 2/5 となります。

設問（ク）～（サ）

事象B₂ すなわち「集合G∩Hの要素が2個である」という事は、
まず最初の2回（「花子さんが取り出す2枚のカード」）においては、

同じ番号のカードが続けて出てはいけません。

そのため 6・5 (=30) 通りの場合があります。
（問題文の式で書くと例えば G ={1, 2}などの場合です。それに対して、例えば1が連続で出た場合の G＝｛1｝ではいけません。）

 

続く3回目と4回目の試行（「太郎さんが取り出す2枚のカード」）は、
例えば最初の1回目と2回目において G ={1, 2} であれば、

同じく 番号1と番号2が出なければいけません。（問題文の式で書くと H={1, 2}です。）
ただし、その組み合わせが起こる場合は 2通りあります。
ここでの例では番号1が3回目に出る場合と、4回目に出る場合の2通りです。

 

したがって、事象B₂ が起こる場合の数は 6・5・2 通りです。

 

他方で全ての起こり得る場合の数は、

6つのカードを1枚取り出す試行が4回続けて行われているので 6⁴通りあります。
 

よって、事象B₂が起きる確率は
6・5・2/6⁴= 5・2/6³ = 5/(36・3) = 5/108

設問（チ）～（ト）　（※設問（シ）から続いています。）

前設問（シ）～（タ）の結果の確率と、
排反であるもう１つの事象の確率を足し合わせる事で本設問の解答が得られます。

 

前設問（シ）～（タ）の事象：「花子さんが」「2回とも同じ自然数が書かれたカードを取り出す場合」
排反であるもう１つの事象：「そうでない場合」

 

1回目と2回目に同じ番号（問題文「自然数」）のカードが出ない場合の数は、
6・5 (= 30) 通りです。

 

続いて B₀ が起きるためには3回目の試行で1,2回目と異なる 4 通りの番号が出る必要があり、
4回目の試行でも同じく4通りの番号の出方があります。 したがって3回目と4回目では4² (=16) 通りがあり得ます。
（3回目と4回目の試行では同じ番号が出てもよい事になります。排反な事象として考えているのは「花子さんが」「2回とも同じ自然数が書かれたカードを取り出す場合」と「そうでない場合」であるからです。）

 

以上から、前設問（シ）～（タ）の事象と排反である事象が起きる場合の数は
6・5・4² 通りであり、確率は 6・5・4²/6⁴ 通りです。

 

これに前設問（シ）～（タ）の結果の確率を加えると、
事象B₀が起きる確率は、
(6・25 + 6・5・42)/6⁴ = (25 + 80)/6³
=105/216 = 35/72

設問（シ）～（タ）

起こり得る全ての場合の数は、前問（ク）～（サ）と同じく 6⁴ 通りです。

 

本設問では、まず最初の1回目と2回目で同じ番号（問題文の「自然数」）が出た場合を考えます。
その時に1回目と2回目で起こり得る場合の数は 6 通りしかありません。

 

続いて、同時に「事象B₀」が起きるためには、
3回目と4回目の試行において、1回目と2回目に出た番号と異なるものが続けて出る必要があります。
この場合には3回目と4回目で同じ番号が出てもよく、 5² (=25)通りあり得ます。
（例えば1回目と2回目で1が出た時、3回目と4回目の組は例えば(2,3)でも(3,2)でも(2,2)でもよい事になります。）

 

したがって、

「花子さんが2回とも同じ自然数が書かれたカードを取り出し、かつ事象B₀が起こる確率」は
6・25/6⁴ = 25/6³ =25/216 となります。

空欄（ア）、（イ）

試行Aは6枚のカードの中から2枚のカードを取り出す組み合わせとなります。
このときの組み合わせ_nC_rは、n=6、r=2より
₆C₂=6!/(2!4!)=(6×5)/(2×1)=15

空欄（ウ）〜（オ）

起こりうるすべての事象Uは、花子さんと太郎さんがそれぞれ試行Aを行うので、このときの場合の数n(U)は、
n(U)=₆C₂・₆C₂

集合E∩Fの要素の個数が2個であるという事象A₂は、花子さんが取り出した2枚のカードと全く同じ2枚のカードを太郎さんが引くことになるため、このときの場合の数n(A₂)は、
n(A₂)=₆C₂・₂C₂
以上より、事象A₂が起こる確率P(A₂)は
P(A₂)=n(A₂)/n(U)
=(₆C₂・₂C₂)/(₆C₂・₆C₂)
=₂C₂/₆C₂

=1/15

空欄（カ）、（キ）

集合E∩Fの要素がないという事象A₀は、花子さんが取り出した2枚のカードと異なる4枚のカードの中から2枚のカードを太郎さんが引くことになるため、このときの場合の数n(A₀)は、

n(A₀)=₆C₂・₄C₂
以上より、事象A₀が起こる確率P(A₀)は
P(A₀)=n(A₀)/n(U)
=(₆C₂・₄C₂)/(₆C₂・₆C₂)
=₄C₂/₆C₂

=6/15
=2/5

P(A₀)=2/5=6/15、P(A₂)=1/15より、事象A₁が起こる確率P(A₁)は、

P(A₁)=1-P(A₀)-P(A₂)

=1-6/15-1/15

=8/15

よって、P(A₁)が一番大きいことがわかります。

空欄（ク）〜（サ）

花子さんと太郎さんが別々に試行Bを2回ずつ行うとき、起こりうるすべての事象U_Bの場合の数n(U_B)は、
n(U_B)=(₆C₁・₆C₁)・(₆C₁・₆C₁)

次に集合G∩Hの要素の個数が2個であるという事象B₂を考えます。

花子さん1回目 ... 場合の数は₆C₁

花子さん2回目 ... G∩Hの要素数が2になるためには、花子さんの1回目の数以外のカードである必要があるので、場合の数は₅C₁

太郎くん1回目 ... 花子さんが取り出した2枚のカードと同じカードとなるので、場合の数は₂C₁

太郎くん2回目 ... 花子さんが取り出した2枚のカードのうち、太郎くんの1回目の数以外の残りのカードである必要があるので、場合の数は₁C₁
よって、事象B₂の場合の数n(B₂)は、

n(B₂)=(₆C₁・₅C₁)・(₂C₁・₁C₁)
以上より、事象B₂が起こる確率P(B₂)は、
P(B₂)=n(B₂)/n(U_B)
=((₆C₁・₅C₁)・(₂C₁・₁C₁))/((₆C₁・₆C₁)・(₆C₁・₆C₁))

=(₅C₁・₂C₁)/(₆C₁)³

=(5✕2)/(6)³
=5/108

空欄（シ）〜（タ）

花子さんが2回とも同じ自然数が書かれたカードを取り出し、かつ事象B₀が起こる場合（事象B₀')を考えます。
花子さん1回目 ... 場合の数は₆C₁

花子さん2回目 ... 花子さんが2回とも同じ自然数が書かれたカードを取り出すので、場合の数は₁C₁

太郎くん1回目 ... 花子さんが出した１つの自然数と異なるカードとなるので、場合の数は₅C₁

太郎くん2回目 ... 太郎くん1回目と同じく、花子さんが出した１つの自然数と異なるカードとなるので、場合の数は₅C₁
よって、事象B₀'の場合の数n(B₀')は、

n(B₀')=(₆C₁・₁C₁)・(₅C₁・₅C₁)
以上より、事象B₀'が起こる確率P(B₀')は、
P(B₀')=n(B₀')/n(U_B)
=((₆C₁・₁C₁)・(₅C₁・₅C₁))/((₆C₁・₆C₁)・(₆C₁・₆C₁))

=(₅C₁)²/(₆C₁)³

=(5)²/(6)³
=25/216

空欄（チ）〜（ト）

花子さんが2回とも異なる自然数が書かれたカードを取り出し、かつ事象B₀が起こる場合（事象B₀'')を考えます。
花子さん1回目 ... 場合の数は₆C₁

花子さん2回目 ... 花子さんが1回目と異なる自然数が書かれたカードを取り出すので、場合の数は₅C₁

太郎くん1回目 ... 花子さんが出した2つの自然数と異なるカードとなるので、場合の数は₄C₁

太郎くん2回目 ... 太郎くん1回目と同じく、花子さんが出した2つの自然数と異なるカードとなるので、場合の数は₄C₁
よって、事象B₀''の場合の数n(B₀'')は、

n(B₀'')=(₆C₁・₅C₁)・(₄C₁・₄C₁)
以上より、事象B₀''が起こる確率P(B₀'')は、
P(B₀'')=n(B₀'')/n(U_B)
=((₆C₁・₅C₁)・(₄C₁・₄C₁))/((₆C₁・₆C₁)・(₆C₁・₆C₁))

=((₅C₁)・(₄C₁)²)/(₆C₁)³

=(5✕(4)²)/(6)³
=80/216

以上から、確率P(B₀)は

P(B₀)=P(B₀')+P(B₀'')
=25/216+80/216
=105/216
=35/72

P(B₀)=35/72=105/216、P(B₂)=5/108=10/216より、事象B₁が起こる確率P(B₁)は、

P(B₁)=1-P(B₀)-P(B₂)

=1-105/216-10/216

=101/216

よって、P(B₀)が一番大きいことがわかります。

解答：P（A₁）、P（B₀）

解説：

（2）までで以下の確率を求めました。

P（A₀）=2/5、P(A₂)=1/15、P（B₀）=35/72、P（B₂）=5/108

上記の結果を用いて、P（A₁）とP（B₁）を求めます。

P（A₁）=1－（2/5）－（1/15）=8/15

P（B₁）=1－（35/72）－（5/108）=101/216

したがって、解答は以下のようになります。

P（A₀）、P（A₁）、P（A₂）のうち、最大のものはP（A₁）

P（B₀）、P（B₁）、P（B₂）のうち、最大のものはP（B₀）