大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問46 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問2)
問題文
同一平面上にある二つの円を考える。二つの円がただ一つの共有点をもつとき、二つの円は接するという。二つの円が図1のように接するとき、二つの円は外接するといい、図2のように接するとき、二つの円は内接するという。
実数sは−2＜s＜2を満たし、実数tはt＞0を満たすとする。Oを原点とする座標平面において、方程式
x2＋y2＝4
が表す円をC0，方程式
x2−2sx＋y2−2ty＋s2＝0・・・・・①
が表す円をCとする。
（1）Cは、中心（［ ア ］，［ イ ］），半径（ ウ ）の円である。また、Cはsやtの値によらず（ エ ）と接している。
（ エ ）にあてはまるものを一つ選べ。
実数sは−2＜s＜2を満たし、実数tはt＞0を満たすとする。Oを原点とする座標平面において、方程式
x2＋y2＝4
が表す円をC0，方程式
x2−2sx＋y2−2ty＋s2＝0・・・・・①
が表す円をCとする。
（1）Cは、中心（［ ア ］，［ イ ］），半径（ ウ ）の円である。また、Cはsやtの値によらず（ エ ）と接している。
（ エ ）にあてはまるものを一つ選べ。
このページは閲覧用ページです。
履歴を残すには、 「新しく出題する（ここをクリック）」 をご利用ください。
問題
大学入学共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）追・試験 問46（数学Ⅱ・数学B（第2問） 問2） （訂正依頼・報告はこちら）
同一平面上にある二つの円を考える。二つの円がただ一つの共有点をもつとき、二つの円は接するという。二つの円が図1のように接するとき、二つの円は外接するといい、図2のように接するとき、二つの円は内接するという。
実数sは−2＜s＜2を満たし、実数tはt＞0を満たすとする。Oを原点とする座標平面において、方程式
x2＋y2＝4
が表す円をC0，方程式
x2−2sx＋y2−2ty＋s2＝0・・・・・①
が表す円をCとする。
（1）Cは、中心（［ ア ］，［ イ ］），半径（ ウ ）の円である。また、Cはsやtの値によらず（ エ ）と接している。
（ エ ）にあてはまるものを一つ選べ。
実数sは−2＜s＜2を満たし、実数tはt＞0を満たすとする。Oを原点とする座標平面において、方程式
x2＋y2＝4
が表す円をC0，方程式
x2−2sx＋y2−2ty＋s2＝0・・・・・①
が表す円をCとする。
（1）Cは、中心（［ ア ］，［ イ ］），半径（ ウ ）の円である。また、Cはsやtの値によらず（ エ ）と接している。
（ エ ）にあてはまるものを一つ選べ。
- x軸
- y軸
- 直線y＝x
- 直線y＝−x
正解！素晴らしいです
残念...
この過去問の解説 （2件）
01
空欄(ア)〜(ウ)
作図してみるとわかりますが、t>0なので円の中心のがyプラス側で、
x軸上に乗ったような状態なのがわかります。
このとき-2<s<2なので、x方向の中心は-2から2までの間になります。
(図中の青色の領域は、円Cの中心が取りうる範囲となります。)
そのため、y軸、y=x、y=-xとは、s、tによって接するだけでなく、離れたり、交差します。
なお、参考までに、以下ではそれぞれの選択肢との接触判定に触れます。
x軸と接するということは、y=0のときの円Cのxの解が1個になれば良いです。
x2-2sx+y2-2ty+s2=0
x2-2sx+s2=0
(x-s)2=0
x=s
以上より、解は１つとなり、x軸と(s, 0)で接します。
y軸と接するということは、x=0のときの円Cのyの解が1個になれば良いです。
x2-2sx+y2-2ty+s2=0
y2-2ty+s2=0
yの二次方程式の判定式Dは
D=(-2t)2-4s2=4t2-4s2
Dはs,tによって0、正、負となるため、円Cとの交点の数はs,tによって変化し、常に接していません。
直線y=xと接するということは、y=xのときの円Cの解が1個になれば良いです。
x2-2sx+y2-2ty+s2=0
x2-2sx+x2-2tx+s2=0
x2-(s+t)x+s2/2=0
xの二次方程式の判定式Dは
D=(s+t)2-4(s2/2)=-s2+2st+t2
Dはs,tによって0、正、負となるため、円Cとの交点の数はs,tによって変化し、常に接していません。
直線y=-xと接するということは、y=-xのときの円Cの解が1個になれば良いです。
x2-2sx+y2-2ty+s2=0
x2+2sx+x2-2tx+s2=0
x2+(s-t)x+s2/2=0
xの二次方程式の判定式Dは
D=(s-t)2-4(s2/2)=-s2-2st+t2
Dはs,tによって0、正、負となるため、円Cとの交点の数はs,tによって変化し、常に接していません。
それぞれの項目との接触判定を計算すると時間がかかります。
作図などで実際の円が取る範囲をイメージし、回答に結びつけたいです。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
02
解答：x軸
解説：
円Cは、中心（s,t）、半径tであるため、
中心からx軸までの距離がtとなり、半径と一致するため、
sやtの値によらず、x軸と接しています。
参考になった数0
この解説の修正を提案する
前の問題（問45）へ
令和7年度（2025年度）追・試験 問題一覧
次の問題（問47）へ