共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問47 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問3)
問題文
同一平面上にある二つの円を考える。二つの円がただ一つの共有点をもつとき、二つの円は接するという。二つの円が図1のように接するとき、二つの円は外接するといい、図2のように接するとき、二つの円は内接するという。
実数sは−2＜s＜2を満たし、実数tはt＞0を満たすとする。Oを原点とする座標平面において、方程式
x2＋y2＝4
が表す円をC0，方程式
x2−2sx＋y2−2ty＋s2＝0・・・・・①
が表す円をCとする。
（2）CとC0が接する場合を考える。CとC0が接したまま実数sが−2＜s＜2の範囲を動くとき、Cの中心が描く図形について考えよう。
（ⅰ）−2＜s＜2に注意すると、C0とCは（ オ ）していることがわかる。いま、C0の半径をr0、Cの半径をrとし、C0の中心とCの中心との間の距離dをr0とrで表すと、d＝（ カ ）となる。したがって、tをsで表すと、t＝（ キ ）となる。
（ オ ），（ カ ）にあてはまるものを一つ選べ。
実数sは−2＜s＜2を満たし、実数tはt＞0を満たすとする。Oを原点とする座標平面において、方程式
x2＋y2＝4
が表す円をC0，方程式
x2−2sx＋y2−2ty＋s2＝0・・・・・①
が表す円をCとする。
（2）CとC0が接する場合を考える。CとC0が接したまま実数sが−2＜s＜2の範囲を動くとき、Cの中心が描く図形について考えよう。
（ⅰ）−2＜s＜2に注意すると、C0とCは（ オ ）していることがわかる。いま、C0の半径をr0、Cの半径をrとし、C0の中心とCの中心との間の距離dをr0とrで表すと、d＝（ カ ）となる。したがって、tをsで表すと、t＝（ キ ）となる。
（ オ ），（ カ ）にあてはまるものを一つ選べ。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）追・試験 問47（数学Ⅱ・数学B（第2問） 問3） （訂正依頼・報告はこちら）
同一平面上にある二つの円を考える。二つの円がただ一つの共有点をもつとき、二つの円は接するという。二つの円が図1のように接するとき、二つの円は外接するといい、図2のように接するとき、二つの円は内接するという。
実数sは−2＜s＜2を満たし、実数tはt＞0を満たすとする。Oを原点とする座標平面において、方程式
x2＋y2＝4
が表す円をC0，方程式
x2−2sx＋y2−2ty＋s2＝0・・・・・①
が表す円をCとする。
（2）CとC0が接する場合を考える。CとC0が接したまま実数sが−2＜s＜2の範囲を動くとき、Cの中心が描く図形について考えよう。
（ⅰ）−2＜s＜2に注意すると、C0とCは（ オ ）していることがわかる。いま、C0の半径をr0、Cの半径をrとし、C0の中心とCの中心との間の距離dをr0とrで表すと、d＝（ カ ）となる。したがって、tをsで表すと、t＝（ キ ）となる。
（ オ ），（ カ ）にあてはまるものを一つ選べ。
実数sは−2＜s＜2を満たし、実数tはt＞0を満たすとする。Oを原点とする座標平面において、方程式
x2＋y2＝4
が表す円をC0，方程式
x2−2sx＋y2−2ty＋s2＝0・・・・・①
が表す円をCとする。
（2）CとC0が接する場合を考える。CとC0が接したまま実数sが−2＜s＜2の範囲を動くとき、Cの中心が描く図形について考えよう。
（ⅰ）−2＜s＜2に注意すると、C0とCは（ オ ）していることがわかる。いま、C0の半径をr0、Cの半径をrとし、C0の中心とCの中心との間の距離dをr0とrで表すと、d＝（ カ ）となる。したがって、tをsで表すと、t＝（ キ ）となる。
（ オ ），（ カ ）にあてはまるものを一つ選べ。
- オ：外接 カ：r＋r0
-
オ：外接 カ：r・r0
-
オ：内接 カ：r0−r
-
オ：内接 カ：r−r0
-
オ：外接 カ：r／r0
- オ：内接 カ：r0／r
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この過去問の解説 （3件）
01
C0：x2+y2=4 （中心が原点で半径2の円） であり、
(1)より円C：(x-s)2+(y-t)2=t2 （中心（s,t）、半径tでx軸に接する円） といえます
Cの中心のx座標sの条件が -2<s<2 であることにより、円Cの中心はC0の内部にあるため
CとC0が接するのであれば、CとC0は内接していることが分かります。（円Cが円C0の内部）
一般に、半径r1の円O1と半径r2の円O2の中心間の距離をdとすると
O1とO2が内接⇔d=|r2-r1| が成り立ちます（図を描いてみるとイメージしやすいです）
この性質と、r0<rであることから、d=r0-rといえます
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02
空欄(ア)〜(ウ)
空欄(エ)
円C0は
x2＋y2＝4
より、中心(0, 0)の原点O、半径2(=r0)の円だということがわかります。
図中の青色の領域は円Cの中心(s, t) (-2<s<2, t>0)の取る範囲です。
このことと、円Cが常にx軸と接することから、CはC0に内包されるか接するか交わることになり、C0の外側に完全に出ることはありません。
よってCとC0が接する場合は、内接となります。
C0の半径r0とCの半径rとC0とCの中心間の距離dとの関係は、内接であることから、r,d<r0となります。
距離dは、図より、
d=r0-r
作図などにより、円の関係性から素早く答えを導きたいです。
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03
解答：オ：内接、カ：r0-r
解説：
円C0の半径は2であり、円Cの中心（s,t）において、
-2<s<2なので、円Cが円C0の外部に存在することはないので、
内接します。
次に、円Cが円C0の内部で接しているので、
下図より、以下の式が立てられます。
d=r0-r
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